Q3.さらに、このＷは非可測な集合になるのでしょうか？

A3.なります。本質的には $W$ が

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$=\sum_{q\in \mbox{${\mathbb{Q}}$}} (W+q)$$

と、可算個で全体集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を分けていて、しかもそれぞれの $W+q$ が $W$ の コピー($W$ を平行移動したもの)であることに起因しています。

このことをきちんと示すにはルベーグ積分の知識が 必要ですから、ここではある程度その知識を仮定します。

以下、「可測」とは「ルベーグの意味で可測」という意味とし、$\mu(?)$ は $?$ の ルベーグ測度をあらわすこととします。

いま背理法で $W$ は可測であったと仮定します。

次の二つの補題を使います。

補題 3.1 (ルベーグ測度の平行移動不変性)   任意の可測集合 $X\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ と 任意の実数 $r$ に対して、

$$\mu(X)=\mu(X+r)$$

この補題は、集合の測度が平行移動しても変わらないことを述べているので、 理解しやすいでしょう。

補題 3.2 (測度の可算加法性)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の可算個の可測集合 $\{X_i\}_{i=0}^\infty$ に対して、

$$\mu(\bigcup_{i=0}^{\infty} X_i)\leq \sum _{i =0}^\infty \mu(X_i)$$

($X_i$ のどの二つも交わらないならば等号が成り立つ。)

この補題はルベーグ積分論で可算性がうまく用いられていることを 述べているもので、ルベーグ積分論の要の一つだと言えます。

さて、上の二つの補題を認めることにしますと、 もし $\mu(W)=0$ なら

$$\mu($$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)= \mu\left(\bigcup_{q\in \mbox{${\ma... ...thbb{Q}}$}}^\infty \mu(W+q) =\sum_{q\in \mbox{${\mathbb{Q}}$}}^\infty \mu(W)=0$$

となって矛盾しますから、 $\mu(W)>0$ でなければならないことが分かります。

さらに、次の補題をもってきましょう。

補題 3.3 ( $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ における測度と位相の関係)   $A$ が $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の可測集合で、$A$ の測度が正である(つまり、0 でない)ならば、

$$A-A=\{a_1-a_2; a_1,a_2\in A\}$$

は 0 の近傍を含む。 (ここでの $A-A$ の定義は集合としての差 $A\setminus A(=\emptyset)$ とは異なることに注意)

この補題の証明は、ルベーグ積分をどのように構成するかによって、議論のしかたが 変わってくるのですが、それを承知ですこしだけ説明をつけることにします。

$A$ を次のように両端を切ったものの和集合で書きます。

$$A=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} (A\cap [-n,n])$$

測度の可算加法性を思い出すと、ある正の整数 $n_0$ があって、 $A_0=A\cap [-n_0,n_0]$ の測度も正であることがわかります。 $A$ のところを $A_0$ に減らしてやってなおかつ上の補題がなりたつならば、 もとの $A$ でも上の補題が成り立つのは明らかですから、 始めから $A$ は有界である (とくに、その測度は有限である)と 仮定してよいことになります。 すると、

$$f(r)=\mu(A\cap (A+r))$$

は $r$ の連続関数³で、 $r=0$ の時正の値をとります。ゆえに、ある $\epsilon>0$ があって、 $\vert r\vert<\epsilon \implies \mu(A\cap (A+r))>0$. この $\epsilon$ に対して、

$$A-A \supset (-\epsilon,\epsilon)$$

というわけです。

いま、$W$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$-部分空間だから、 $W-W\subset W$ が成り立つということに注意して上の補題を使うと、 $W\supset (-\epsilon,\epsilon)$ となる正の数 $\epsilon$ があることになります。 ところが下の補題を用いると、これは $W=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を意味して、矛盾というわけです。

補題 3.4 ( $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の 原点の近傍は(加法半群として) $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を生成する。)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $S$ が次の二つの性質を持ったとする。

1. $S \supset (-\epsilon, \epsilon)$ なる $\epsilon>0$ が存在する。
2. $S+S \subset S$

このとき、 $S=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ がなりたつ。

この補題自体の証明はとても簡単です。

(実は上に挙げた補題はいずれも位相群と呼ばれる対象の測度(Haar 測度) や位相を調べる最初の道具としてつかわれる形に拡張できます。)