付録

$A$ が可測集合で、その測度 $\mu(A)$ が有限ならば、

$$f(r)=\mu(A\cap (A+r))$$

は $r$ の連続関数であることの説明を補足しておきます。 $A$ の定義関数 $\chi_A$ を

$$\chi_A(x)= \begin{cases} 1 &x \in A\text{ のとき}\\ 0 &x \notin A\text{ のとき}\\ \end{cases}$$

で定義します。すると、$f$ は定義関数の積分としてあらわされます。実際、

$$g_r(x)=\chi_A(x) \chi_A(x-r)=\chi_A(x) T_r(\chi_A)(x)$$

とおきますと、

$$f(r)=\int g_r(x)$$

であることがわかります。

補題 4.1   $\psi_i\to \psi$ ($L^1$ 収束), $\phi \in L^\infty$ なら、

$$\int \phi \psi_i \to \int \phi \psi.$$

という補題をもちいますと、あとは次のことを示せば十分です。

補題 4.2 (Lebesgue の定理(平行移動の $L^1$ 連続性))   $\psi \in L^1 ($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ なら、

$$\int _a^b \vert \psi(t+h)-\psi(t)\vert \to 0 \qquad(h\to 0).$$

証明は$\psi$ を階段関数で近似して、階段関数に対して上の補題が成り立つこと (これはほとんど明らか)に帰着させます。 詳細は、例えば溝畑茂先生の「偏微分方程式論」の 一番最初のほう(補題1.1)にも証明があります。