前小節の補遺

前小節で $f(A)=0$ であると述べたが、詳しくは説明しなかった。 ここではその説明を補足することにする。

まず、$A$ の列ベクトルを眺めてやると、

$$E e_1=e_1 ,\quad A e_1=e_2 ,\quad A e_2=e_3 ,\quad \dots,\quad A e_{n-1}=e_n ,\quad$$

$$A e_{n}=-(a_0 e_1 +a_1 e_2+a_2 e_3 +\dots +a_{n-2} e_{n-1}+a_{n-1}e_{n})$$

が直ちにわかる。 第一式から帰納的に $e_k=A^{k-1} e_1$ が得られることに注意すると、

$$E e_1=e_1 ,\quad A e_1=e_2 ,\quad A^2 e_1=e_3 ,\quad \dots,\quad A^{n-1} e_{1}=e_n ,\quad$$

$$A^n e_{1}=-(a_0 e_1 +a_1 e_2+a_2 e_3 +\dots +a_{n-2} e_{n-1}+a_{n-1}e_{n})$$

が成り立つことがわかる。 これらの式を眺めてやると、 右辺をうまく加減してやってうまく消せることに気づくだろう。すなわち、

$$f(A)e_1= A^n e_1+a_{n-1} A^{n-1} e_1 + a_{n-2} A^{n-2} e_1 + \dots +a_1 A e_1 + a_0 E e_1=0$$

という関係式が容易に見てとれる。

あとは、 $f(A)e_2,f(A)e_3,\dots,f(A)e_n$ も同様に計算して 0, とやっても良いのだが、 それではホンマニ同様かいな、という疑念が残る。

ここはもっとウマイ手がある。 $A$ のベキ $A^k$ と $f(A)$ という行列が可換であることを利用するのである。 じっさい、

$$f(A)e_2=f(A) A e_1=Af(A) e_1=0,$$

$$f(A)e_3=f(A) A^2 e_1=A^2f(A) e_1=0,$$

$$f(A)e_4=f(A) A^3 e_1=A^3f(A) e_1=0,$$

$$\dots$$

とやれば、 $f(A)e_2,f(A)e_3,\dots,f(A)e_n$ がすべて 0 であることが ほとんど計算せずにわかるという寸法である。

$f(A)e_1,f(A)e_2,\dots,f(A)e_n$ が 0 ならもちろん $f(A)$ 自身が 0 でなければならないから、これで $f(A)=0$ の証明ができたことになる。