体や環に新しく元を付け加えて環を作る。(上級者向け)

この小節の内容は線型代数から逸脱しているが、ついでだから付け加えておく。 代数の講義を受けてから振り返ってみるとよいだろう。

環 $R$ と、その元 $a_0,a_1,\dots,a_n$ が与えられているとき、 $R$ に元 $x$ を付け加えた環 $S$ を作り、$S$ のなかで $x$ が

$$f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dots +a_1 X+a_0$$

の根になるようにしたい、 つまり、

$$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_1 x+a_0=0$$ (※)

が成り立つようにしたいということがたまにある。 (例えば、 ${\mathbb{C}}$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に $X^2+1$ の根を付け加えたものである。)

もしそのような $S$ が仮にあったとすれば、

$$S= R +R x +R x^2+ R x^3+\dots +R x^{n-1}$$

であることがわかる。というのも、 $x^n$ は関係式 (※)により $x$ の $n-1$ 次以下の 多項式で表現しなおすことができる

$$x^n=-a_{n-1}x^{n-1}-a_{n-2}x^{n-2}-\dots -a_1 x-a_0$$

し、 $x^{n+1}=x^n x$ も いったん $x^n$ を (※) で $x$ の $n-1$ 次以下の多項式に置き換え、

$$x^{n+1}=(-a_{n-1}x^{n-1}-a_{n-2}x^{n-2}-\dots -a_1 x-a_0)x$$

その後この式を展開して出て来た $x^n$ をもう一度 (※)を使って $n-1$ 次以下に 置き換えることができる。 $x^{n+2},x^{n+3},\dots$ も同様であるからである。

となると、やはり

$$R +R x +R x^2+ R x^3+\dots +R x^{n-1}$$

に $x$ 倍がどのように作用するかが問題になる。 前小節と全く同様な考察により、それは $n\times n$-行列

$$A= \begin{pmatrix} 0& 0 & 0& 0& \dots&0 &0 &0 & -a_0 \\ 1& 0 & 0... ...ots&0 &1 &0 & -a_{n-2} \\ 0& 0 & 0 & 0& \dots&0 &0 &1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}$$

という行列と対応することがわかる。

$A$ は $f(A)=0$ を満足することにも 注意しておこう。 このように、行列により、$R$ 上の方程式 $f(x)=0$ を満足する ような $x$ を具体的に構成できるわけである。