基底のとり方を変えるとどうなるか

$V$ の基底二組 $\{\mathbbm e_i\}$, $\{\mathbbm e_j'\}$ と$W$ の基底二組 $\{\mathbbm f_k\}$ $\mathbbm f_l'\}$ とがあったとする。

$$\mathbbm e_j'= \sum_i p_{ij} \mathbbm e_i \qquad \mathbbm f_l'= \sum_k p_{kl} \mathbbm f_k$$

$$\mathbbm e_j' \otimes \mathbbm f_l'= \sum_{i,k} p_{ij} q_{kl} (\mathbbm e_i \otimes \mathbbm f_k)$$

これがテンソル積の基底の変換則ということになる。