形式ばった証明

以下、小さい字で妖精国での対応物を書く。

定義 2.1   $\prec$ が集合 $S$ 上の前順序であるとは、次の二条件が 成り立つときに言う。

1. $\forall x \in S \quad (x \prec x)$
2. $\forall x ,y ,z \in S \quad (x \prec y$    and $y\prec z \implies x \prec z )$

$A$ には、次のような前順序関係が入る。

$$x \prec y \quad {\Leftrightarrow}\quad (\exists n \in \mathbb{N}\quad g^n(x)=y)$$

$x \prec y$ とは、 $y$ が $x$ の子孫であるということである

$A$ に同値関係 $\sim$ が、

$$x\sim y \quad {\Leftrightarrow}\quad ( x \prec y$$    or $$y \prec x)$$

で定義される。

$x\sim y$ とは、 $y$ が $x$ の親戚であるということである

同値関係により、$A$ がクラス分けされる。 各クラスは「親族」である

クラス $A_{\lambda}$ ごとに $A$ から $B$ への写像 $f$ とその逆写像 $G$ を組み立てよう。 ２つのケースに分かれる。

Case I: $A_\lambda$ に最小元がない場合。

このばあい、 $A_\lambda =g(A_\lambda)\subset B$ である。

$$f\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}, \quad G\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}.$$

と取れば良い。

Case II. $A_\lambda$ に最小元がある場合。

その最小元を $x_\lambda$ とおこう。

$g^n(x_\lambda) \quad (n=0,1,2,\dots)$ は互いに相異なる。

すなわち、 $(A_\lambda, g) \cong (\mathbb{N},+1)$ なのである。

$B\supset g(A)$ だったから、 $g^n (x_\lambda)\in B$ $(n=1,2,3,\dots)$ .

$x_\lambda\in B$ か否かによってふたとおりに場合分けされる。

Case II-1). $x_\lambda\in B$ のとき。

$B \supset A_\lambda$ である。

従って、Case I と同じく

$$f\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}, \quad G\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}.$$

と取れば良い。

Case II-2). $x_\lambda \notin B$ のとき。

このときのみ、$A_\lambda$ と $A_\lambda \cap B$ の間に違いが生じる。 $A_\lambda$ と $A_\lambda \cap B$ との全単射を与えるには、一つずらせば良い。

$$g: A_\lambda \mapsto (A_\lambda \cap B)$$

は全単射であって、その逆写像を $h_\lambda$ と書けば、

$$f\vert _{A_\lambda} =g,\qquad G\vert _{A_\lambda}= h_\lambda.$$

と取れば良い。

上の証明は クラス分けの際に 選択公理を使っている。 実際には、選択公理を使わなくても済むので、 これは少し「弱み」と言えるかもしれない。

選択公理を使わずに証明するには、次のように考える。

$X=A\setminus B$ とおく。

$X$ は へそのない最長老たちの全体の集合にあたる。

さらに、

$$W=A \setminus (\bigcup_{j=0}^\infty g^j X )$$

とおこう。 [ $\bigcup_{j=0}^\infty g^j X$ は自分たちの親戚にへそのない最長老がいる人の 全体の集合にあたる。i 上の $W$ はその補集合で, 親戚が皆へそを持つような人の全体の集合である。 ]

さて、

$$g: \bigcup_{j=0}^\infty g^j X \to \bigcup_{j=1}^\infty g^j X$$

は全単射である。

次のことは容易に分かる。

$$A= \bigcup_{j=0}^\infty g^j X \cup W$$

$$B= \bigcup_{j=1}^\infty g^j X \cup W$$

よって、$A$ と $B$ の間の全単射が存在する。

このラインが、 本講義の教科書(小林、逸見著、「集合と位相空間の基礎、基本」)にある証明 である。記号もなるべくあわせてある。詳細は教科書を参照のこと。