代数学II 要約 No.4

今日のテーマ

前回のレポートで左右の区別ができていなかった答案が目だったので、 ここではっきりさせておこう。ただし、本講義では主に左剰余類を扱う。

定義 4.1   [再掲] $G$ の部分群 $H$ が与えられているとき、$G$ の「左クラス分け」が 次のように定まる。 $g_1$ と $g_2$ が同じクラス ${\Leftrightarrow}$ $g_1=g_2 h$ となる $h\in H$ が存在する。

1. このクラス分けによる $x$ のクラスを $x$ の $H$ に関する左剰余類と呼ぶ。
2. このクラス分けによるクラスの全体の集合を $G/H$ と書き、 $G$ の $H$ による左剰余集合と呼ぶ

定義 4.2   $G$ の部分群 $H$ が与えられているとき、$G$ の「右クラス分け」が 次のように定まる。 $g_1$ と $g_2$ が同じクラス ${\Leftrightarrow}$ $g_1=h g_2$ となる $h\in H$ が存在する。

1. このクラス分けによる $x$ のクラスを $x$ の $H$ に関する右剰余類と呼ぶ。
2. このクラス分けによるクラスの全体の集合を $G\backslash H$ と書き、 $G$ の $H$ による右剰余集合と呼ぶ

命題 4.1   $H$ による右クラス分けと左クラス分けが一致するのは、$H$ が $G$ の 正規部分群のときで、その時に限る。

その他に、レポートでは部分群でないものによるクラス分けを試みていたものが あった。それは大抵うまく行かない。問題 4.1を参照のこと。

準同型定理の話に戻る。次の定理は準同型定理の基本応用例である。

定理 4.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong C_n$

問題 4.1   群 $G=\mathfrak{S}_4$ の部分集合 $H$ を

$$H=\{ (1), (2 3),(1 2 3)\}$$

で定義する。このとき、 $G$ の $H$ によるクラス分けを定義 4.1 のように 行えるだろうか。うまく行なえないときにはどうしてだめなのか 反例を挙げて答えなさい。