代数学II要約 No.11

今日のテーマ:

$G$ の表現を全て求めるための決定打が、次の定理だ。

定理 11.1   ${\mathbb{C}}[G]$ は全行列環 $M_k({\mathbb{C}})$ の幾つかの直積と環として同型である。

$${\mathbb{C}}[G]\cong \prod_{i=1}^\ell M_{k_i}({\mathbb{C}})$$

${\mathbb{C}}[G]$ を中心元による固有分解することによって、上の定理は次の 命題に帰着される。

命題 11.2   ${\mathbb{C}}$ 上の有限次元環 $R$ が、

1. $Z(R)={\mathbb{C}}$
2. 全ての左 $R$-加群は完全可約である。

という条件を満たせば、$R$ はあるサイズの全行列環 $M_k({\mathbb{C}})$ と同型になる。

実は、命題11.2の(2)の仮定のもとでは、 中心元による固有分解は、両側イデアルによる分解でもある。 それが次の補題である。

補題 11.1   $R$ が命題11.2の(2)を満たすとき、$R$ の任意の(両側)イデアル $I$ に対して、 $R$ のある(両側)イデアル $J$ が存在して、 $R =I\oplus J$ がなりたつ。 とくに、$R$ が命題11.2の条件(1),(2)をともに満たせば、$R$ には非自明な (両側)イデアルが存在しない。

命題11.2の証明にはその他に以下の補題を用いる。 ポイントは、抽象的な条件式(1),(2)からいかにして基本行列 $E_{ij}$ に 該当するものを見つけ出してくるかというところにある。

補題 11.2   環 $R$ の左イデアル $J_1,J_2$ があって、$R$ が($R$-左加群として) $J_1\oplus J_2$ と等しいならば、$R$ の元 $e_1,e_2$ で、 次の条件を満たすものが唯一つ存在する。

1. $e_1 \in J_1,\quad e_2 \in J_2.$
2. $e_1+e_2=1.$
3. $J_1=R e_1,\quad J_2=R e_2.$

$R=M_2({\mathbb{C}})$ に対して、 $J_1=R E_{11}, J_2=R E_{22}$ というのが 上の補題の代表的な例である。

以下、さらに細かく基本行列を作り出すことになる。 それらの証明はどれも面白いのだが、 細かい話になるし、詳細を知りたい人はむしろ自力で考えた方が良いので、 すべて演習問題にまわすことにする。

まず、 $E_{11},E_{22},E_{33},\dots,E_{kk}$ にあたるものを作り出す。

補題 11.3   命題11.2の仮定のもとで、

1. $R=R a_1\oplus R a_2 \oplus R a_3 \oplus R a_4 \oplus \dots \oplus R a_k$ かつ 各 $R a_i$ は既約左 $R$-加群であるような $a_1,\dots,a_k$ が存在する。
2. さらに、 $a_1,a_2,\dots,a_k$ は

   $$a_1+a_2+\dots+a_k=1$$

   
   
   を満たすように選べる。
3. $a_1,a_2,a_3,\dots, a_k$ を上のように選んでおくと、
   $$a_i a_j =\delta_{ij} a_i \qquad i,j\in \{1,2,\dots,k\}$$
   が成り立つ。(ただし $\delta_{ij}$ はクロネッカのデルタ。)

補題 11.4   上記補題の仮定の元で、 $a_1,a_2,\dots,a_k$ を(1) および(2)が成り立つように 選んでおくと、 $R_1=a_1 R a_1$ は環になり、しかも非自明な 左イデアル($R_1$ の $R_1$-部分加群)をもたない。

補題 11.5   ${\mathbb{C}}$ 上有限次元の環 $S$ が、非自明な左イデアルをもたないならば、 $S={\mathbb{C}}$ である。特に、補題11.4の $a_1Ra_1$ は ${\mathbb{C}}$ に一致する。

$E_{ij}$ にあたるものを作り出すのが問題11.7である。

さて、定理11.1により、$G$ の表現論のかなりの部分は全行列環 の表現を調べることに帰着される。実は全行列環の表現は限られたものしかない。

定理 11.3   ${\mathbb{C}}^k$ は自然なやり方で $M_k({\mathbb{C}})$-加群と見ることができる。 これをここでは $V_k$ と書くと、 $M_k({\mathbb{C}})$ の任意の有限次元表現は $V_k$ の有限個の直和と( $M_k({\mathbb{C}})$ 加群として) 同型である。 とくに、 $M_k({\mathbb{C}})$ の有限次元既約表現は必ず $V_k$ と同型である。

問題 11.1   $R=M_3({\mathbb{C}})$ のとき、補題11.3 の条件(1),(2),(3)を満たす $a_1,a_2,a_3$ を 見つけ出し、その $a_1,a_2,a_3$ にたいして $Ra_1$, $Ra_2$, $Ra_3$ に入るための条件をできるだけ具体的に書け。

問題 11.2   $R$ の左 $R$-部分加群(つまり、$R$ の左イデアル) $J(\neq 0)$ が $R$-加群として既約ならば、 ある $a\in J$ があって、 $J=Ra$ が成り立つことを示せ。 (ヒント:$J$ の任意の元 $b$ に対して、$Rb$ も $R$ の左イデアルである。 )

問題 11.3   補題11.3 の(1),(2) が成り立つような $a_1,a_2,\dots,a_k$ に対して、 同補題の(3)が成り立つことを示せ。 (ヒント: $a_1=a_1(a_1+a_2+\dots+a_k)$ の右辺を展開し、両辺の分解(1)に 関する成分を比較せよ。

問題 11.4   補題11.3の仮定のもとで どの $x,y\in R$ にたいしても、 $x R y\neq 0$ であること、 すなわち、ある $w\in R$ があって $xwy \neq 0$ であることを示しなさい。 (ヒント:$y$ を一つ固定する毎に、 $\{x\in R; xRy\neq 0\}$ は $R$ の両側 イデアルになる。)

問題 11.5   体 $k$ 上有限次元の環 $S$ が、非自明な左イデアルをもたないと仮定する。 このとき、

$$(a,b\in S$$    かつ $$ab=0) \implies \ (a=0$$    または $$b=0)$$

が成り立つことを示しなさい。 (ヒント: $a$ が 0 でないとすると、$Sa$ は $S$ の左イデアルで、0 ではないから、 $S$ にならざるを得ない。ここから $xa=1$ なる $x\in S$の存在を導く。)

問題 11.6   補題11.5を証明せよ。(ヒント:任意の $z\in S$にたいして、 $1,z,z^2,z^3,\dots,z^{\dim_{\mathbb{C}}S}$ は一次独立たり得ないため、 $z$ は $S$ 上ある方程式をみたす。そのような方程式のうち 次数が最小のもの($z$ の最小多項式) を $f(X)$ とすると、代数学の基本定理により $f(X)$ は $X$ の一次式の積に分解する。つまり、

$$(z-c_1)(z-c_2)(z-c_3)\dots(z-c_l)=0$$

なる $c_1,c_2,c_3,\dots, c_l$ が存在する。 あとは前問をもちいる。)

問題 11.7   補題11.3の仮定のもとで、 $\dim_{{\mathbb{C}}}(a_i R a_j)=1$ であることを示しなさい。 (ヒント: 問題11.4を用いて、0 と異なるような $a_1x a_i$, $a_j y a_1$ を見付けてきて、補題 11.5 を援用する。)