代数学II 要約 No.11

今日のテーマ:

補題 11.1   $R$ は環で、ある素数 $p$ があって、 $p_R= \overbrace {1_R+1_R+\dots +1_R} ^{\text{$p$ 個}} =0_R$ が 成り立っているとする。 このとき、 $\Phi:R\to R$ を $\Phi(x)=x^p$で定義すれば、$\Phi$ は $R$ からそれ自身への準同型(自己準同型)を与える。

$\Phi$ を $k$ 回繰り返した写像 $(\Phi)^k$ は

$$(\Phi)^k(x)=x^{p^k}$$

で与えられることにも注意しておく。

定義 11.1   素数 $p$ のベキ $q=p^s$ にたいして、 ${\mathbb{F}}_q$ の拡大体 ${\mathbb{F}}_{q^r}$ の自己同型

$$\Phi_q: x\mapsto x^q$$

を ${\mathbb{F}}_{q^r}$ の ${\mathbb{F}}_q$ 上のフロベニウス自己同型と呼ぶ。

補題 11.2   $f(X)$ は ${\mathbb{F}}_q$ 上の $n$ 次の既約多項式だとする。このとき、 $f$ の根の一つを $\alpha$ とすると、

1. $\alpha, \alpha^q, \alpha^{q^2},\dots,\alpha^{q^{n-1}}$ は それぞれ $f$ の根である。
2. $f$ の根は上で挙げたもので尽きている。

補題 11.3   ${\mathbb{F}}_{q^r}$ の ${\mathbb{F}}_q$ 上の自己同型 ( ${\mathbb{F}}_{q^r}$ から ${\mathbb{F}}_{q^r}$ への自己同型写像で ${\mathbb{F}}_q$ に制限すると恒等写像になるもの)の全体は、 $\Phi_q$ によって生成される位数 $r$ の巡回群である。

次の補題は補題11.2の(1)の拡張にあたる。

補題 11.4   $n$ 変数の多項式 $f_1,f_2,\dots,f_m \in {\mathbb{F}}_q[X_1,X_2,\dots,X_n]$ の 決める方程式系 $V_1=V(f_1,f_2,\dots,f_m)$ に対して、 「フロベニウス写像」 $\Phi_q: V_1(F_{q^r})\ni x \mapsto \Phi_q(x)\in V_1(F_{q^r})$ を次のようにして定義できる。

$$\Phi_q(x_1,x_2,\dots,x_n)=(\Phi_q(x_1),\Phi_q(x_2),\dots,\Phi_q(x_n))$$

$x$ が $\Phi_q$ の不動点 ( $\Phi_q(x)=x$)であることと、 $x\in V_1(F_q)$ であることとは同値である。

本講義では触れないが、 上の補題は合同ゼータ関数の性質を調べる最初のヒントになる。

1変数方程式のゼータ関数を決定しておこう。 まず既約性についての簡単な補題から

補題 11.5   ${\mathbb{F}}_q$ 上の1変数 $n$ 次多項式 $f(X)$ に対して、

1. $f$ の既約因子 $q$ は $f$ と $X^{q^k}-X \quad (k=\deg(q))$ との共通因子である。
2. $f$ が既約であるための必要十分条件は、 $k=1,2,\dots,n-1$ の各々に対し、 $f(X)$ と $X^{q^k}-X$ とが共通因子をもたないことである。

例えば、 ${\mathbb{F}}_q$ 上の4次または5次の1変数多項式 $f(X)$ は、$X^{q^2}-X$ と共通因子を もたなければ既約である。

補題 11.6   ${\mathbb{F}}_q$ 上の既約な1変数 $n$ 次多項式 $f(X)$ が与えられているとする。このとき、

1. $f(X)$ が ${\mathbb{F}}_{q^r}$ のなかに根をもつのは $r$ が $n$ の倍数のときに限る。
2. $r$ が $n$ の倍数ならば、 ${\mathbb{F}}_{q^r}$ のなかの $f(X)$ の根はちょうど $n$ 個ある。

命題 11.1   ${\mathbb{F}}_q$ 上の既約な1変数多項式 $n$ 次多項式 $f(X)$ に対して、 $V(f)$ の合同ゼータ関数は

$$Z(V(f),t)=1/(1-t^n)$$

で与えられる。

今回の話をもちいると、次の２問はかなり解きやすくなる。

問題 8.1 次のような(1)-(3)の例を((4)が解きやすいように)作り,(4)を 求 めなさい。

(1) 素数 $p>2$

(2) 正の整数 $n>2$

(3) ${\mathbb{F}}_p$ 上の相異なる $n$ 次既約多項式 $f,g\in{\mathbb{F}}_p[X]$

(4) ${\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ での $g$ の一次式への 分解

問題 9.1 $p=5$ とする。 ${\mathbb{F}}_p$ 上のモニックな4次既約多項 式 $f$ の例を挙げ、 $f$ の一つの根を $\alpha$ とした時、 $f$ の他 の根を $\alpha$ であらわしなさい。 (つまり、 $f$ を ${\mathbb{F}}_p[\alpha]$ 上で一次式の積に分解しなさい。)

問題 11.1   ${\mathbb{F}}_3$ 上の多項式 $f(X)=X^4+1$ に対して、

1. $f$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の既約な多項式の積に分解しなさい。
2. $V(f)$ の合同ゼータ関数 $Z(V(f),t)$ を求めよ。

(ヒント: $f$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上既約ではないので、命題 11.1は そのままでは使えない。)

問題 11.2   $4$ で割ると $3$ 余るような素数 $p$ に対しては、 $a\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を どのように選んでも、 $X^4-a$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上既約にならないことを示しなさい。

問題 11.3   $4$ で割ると $1$ 余るような素数 $p$ に対して、 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の生成元 $r$ をとる。このとき、

1. $r^{(p^2-1)/4}=-1$ であることを示しなさい。
2. $X^4-r$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上既約であることを示しなさい。

(ヒント:任意の素数 $p>2$ と $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の生成元 $r$ とに対して、 $r^{(p-1)/2}$ は $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の位数 $2$ の元である。(なぜか？))

問題 11.4   ${\mathbb{F}}_p$ の元 $a$ で、どんな $b\in {\mathbb{F}}_p$ をとってきても $b^2\neq a$ を満たすものが与えられたとする。 $f(X)=X^2-a$ とし、 $R={\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ を ${\mathbb{F}}_p$ 上の 2次元ベクトル空間と見たとき、 $R\ni r\mapsto r^2\in R$ を表示するような 2次行列 $A$ をもとめ、 $\operatorname{tr}(A^k)$ を計算しなさい。 $V(X^2-a)$ の合同ゼータ関数とこの結果の関係について、わかることを (思い付く限り)述べよ。

( $\operatorname{tr}(A^k)$ は ${\mathbb{F}}_p$ の元であるから、「個数」という量( ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元) と比べると少し情報量が落ちる。 この問題で、$X^2-a$ を任意の既約多項式に置き換えても同様のことが できるのだが、それは少し難しすぎるので、ここでは問題としては課さない。)