逆行列を求める時の注意

逆行列を求める方法も複数あって、どれでも好きなものを適宜使えばよいのであるが、 一つのやり方は次のようなものである。

行列 $A$ に列基本変形のみを行って、単位行列 $E$ をつくる。 このとき、単位行列 $E$ にも全く同じ列基本変形を行うと、得た行列 $P$ は 実は $A$ の逆行列である。

列基本変形とは、基本行列 $P_1,\dots,P_k$ を右から

$$A P_1 P_2 \dots P_k$$

と掛けて行くことに相当し、その見方で言えば、上の $P$ は $P_1P_2\dots P_k$ なる積に相当する。 つまり、

と言っているのであって、もちろんこれは正しい。

もちろん、行基本変形のみを行う方法もあって、これは、

という事実を使うことになる。

ところが、諸君の中には、行変形、列変形両方マゼコゼにして使う人がいて、 じつはこれでは逆行列を求めることができないのである。 上の説明で言えば、

(間違い)     $QAP=E$ ならば、 $QP$ は $A$ の逆行列である。

ということが成り立てばよいのだが、これはうそである。 試しに自分で確認してみることをお勧めする。

混ぜるな危険。