項の辞書式順序

まず単項式の間に辞書式順序を入れる。これは、二つの単項式

$$a X_1^{i_1}\dots X_n^{i_n}, b X_1^{j_1}\dots X_n^{j_n}$$

の比較を、それぞれの指数 $(i_1,i_2,\dots,i_n)$ $(j_1,j_2,\dots,j_n)$ の 「どちらが遅く辞書に現れることになるか」で比較するものである。 例えば、

$$X^2>X^1Y^2 Z^3 >X^1YZ^3>XZ^5$$

この順序は、巾指数を使わないで単項式を表現したものの辞書式順序と おなじである。

$$XX >XYZZZ >XYZZZ>XZZZZ$$

どちらでも考えやすい方で考えればいいわけだが、前者の方が数字を直接見ているぶん 扱いやすいだろう。

一般に、多項式 $p$ の先導項とは、$p$ に現れる項のうち辞書式順序について 一番大きな項をさす。これを $\operatorname{Head}(p)$ と書くことにしよう。 例えば、

$$\operatorname{Head}(15X^2-4X^3YZ-5X^4+7XY^8 Z)=-5X^4$$

である。