環論 No.7要約

$\fbox{今日のテーマ}$ 《環の準同型定理》環 $R$ から $S$ への準同型 $f$ が与えられたとき、写像に関する一般論から $f$ による $R$ のクラス分けができる。それは $\operatorname{Ker}(f)$ による $R$ のクラス分けと一致する。

定理 7.1 環準同型 $f:R\to S$ について、 $R$

$R$

の同値関係 $\sim_f$ を

$% latex2html id marker 835 $\displaystyle x \sim_f y \quad {\Leftrightarrow}\quad f(x)=f(y) $$

で定義し、また $r\in R$ の $R/\operatorname{Ker}(f)$ でのクラスを $\bar{r}$ とすると、次のことが成り立つ。

$x,y\in R$ にたいして、

$% latex2html id marker 845 $\displaystyle x \sim_f y \quad {\Leftrightarrow}\quad \bar{x}=\bar{y} $$
が成り立つ
は

$% latex2html id marker 849 $\displaystyle \bar{f}:R/\operatorname{Ker}(f) \ni \bar{r} \mapsto f(r)\in \operatorname{Image}(f) \qquad (r\in R) $$
なる同型を誘導する。

代数では群、加群、環、Lie 環など、いろいろなモノについてそれぞれ「準同型定理」がなりたつが、それはすべて次の単純な事実に基づく:

$\begin{itembox}{「値による分類」} 写像 $f: X\to Y$\ が与えられた... ...�によって $X$\ の元の分類(クラスわけ)ができる。 \end{itembox}$

さらに、

$\begin{itembox}{Kernel の重要性} $f$\ が環の準同型の場合には、$f... ...f)$\ に入るかどうかの分類」と同じことである。 \end{itembox}$
(環や加群の準同型では、元 $a$ と $b$ の「差(違い)」は $a-b$ で決まるものであるが、群の場合には、 $ab^{-1}$ で与える。)

問題 7.1

環準同型 $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が与えられていて、 $f(X)=3$ だと分かっているとする。このとき、

多項式 $X^2+3X+5 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ のによる像を具体的に求めなさい。
$\operatorname{Ker}(f)$ の元で、 0 と異なるものを具体的に3つあげなさい。