理工系線形代数学 No.6要約

今日のテーマ:行列式

定義 6.1 (符号) $\{1,2,\dots,n\}$ の順列 $\sigma$ が与えれらているとする。 $1,2\dots, n$ を平面上に一直線上に並ぶように等間隔で並べて描き、その下にも同じもののコピーを掻いておく。 $1$

$1$

と $\sigma(1)$ , $2$

$2$

と $\sigma(2)$ ,..., $n $

$n $

と $\sigma(n)$ とをそれぞれなめらかな曲線で結ぶ。(ただし三曲線が一点に会さないようにする。) このとき、曲線同士の交点の数の総数を $n $

$n $

とおくと、

$\displaystyle (-1)^n$

は $\sigma$ にしかよらない。この数を $\operatorname{sgn}(\sigma)$ と書いて、 $\sigma$ の符号と呼ぶことにする。

定義 6.2 正方行列 $A$

$A$

に対して、

$\displaystyle \operatorname{det}(A) =\sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma) a_{... ...ma(2)} a_{3 \sigma(3)} \cdot \dots \cdot a_{{n-1} \sigma(n-1)} a_{n \sigma(n)}$

(和は $\{1,2,\dots,n\}$ の順列 $\sigma$ 全てに渡る) のことを $A$

$A$

の行列式という。

定義 6.3 $n\times 1$ -行列のことを、 $n $

$n $

次元列ベクトルともいう。行列 $A$

$A$

と列ベクトル $\mathbbm b$ に対して、 $A {}_{\raisebox{-1mm}{$<\!\!\!\!\!-\!\!$}}\vert _i \mathbbm b$ で「 $A$

$A$

の

$i$

番目の列ベクトルを $\mathbbm b$ に置き換えて得られる行列」を表すことにする。 $($

$($

ここだけの記号。

$)$

命題 6.4 $\operatorname{det}$ について、以下のことが成り立つ。

$\operatorname{det}$ は多重線形である。すなわち、任意の正方行列、任意の次元列ベクトル $\mathbbm u,\mathbbm v$ と任意の実数、任意の $i \in \{1,2,\dots, n\}$ にたいして、

$\displaystyle \operatorname{det}(A {}_{\raisebox{-1mm}{$<\!\!\!\!\!-\!\!$}}\ver... ...eratorname{det}(A {}_{\raisebox{-1mm}{$<\!\!\!\!\!-\!\!$}}\vert _i \mathbbm v)$
が成り立つ。
$\operatorname{det}$ は交代的である。すなわち、の列ベクトルに同じものが現れたなら、必ず $\operatorname{det}(A)=0$ である。
$\operatorname{det}$ は符号交代的である。すなわち、行列の２つの列をいれかえた行列をと書いたとき、 $\operatorname{det}(A)=-\operatorname{det}(A')$ が成り立つ。
$\operatorname{det}(1_n)=1$ .

逆に、多重線形かつ交代的な写像 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $) \to$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が与えられたとき、 $f(A)=f(1_n) \operatorname{det}(A)$ が成り立つ。

注意: 多重線形性(1)の仮定のもとで、交代性(2)と符号交代性 $(2')$ とは同値である。