体論要約 No.14

今日のテーマ:ガロア拡大により正規拡大は正規部分群に対応する。ほか

命題 14.1   体 $L$ は体 $K$ の有限次ガロア拡大とする。ガロア対応により $L$ と $M$ の間の中間体 $M$ はガロア群 $G$ の部分群 $H$ に対応するとする。このとき $M$ が $K$ の正規拡大 ${\Leftrightarrow}$ $H$ は $G$ の正規部分群 この２つの条件のうち一方が成り立つとき、(必然的に他方も成り立つわけだが), $\operatorname{Gal}(M/K) \cong G/H$.

( $\Rightarrow$:) $G$ から $\operatorname{Gal}(M/K)$ への群準同型 $\varphi$ を

$$\varphi(\sigma) =\sigma\vert _M$$

で定義する。次のことがわかる。

• $\operatorname{Ker}(\varphi)=\operatorname{Gal}(L/M)$.
• $\vert G/H\vert=\vert G\vert/\vert H\vert$
• $\vert\operatorname{Gal}(M/K)\vert=[M:K]=[L:K]/[M:K]=\vert G\vert/\vert H\vert$

よってこのときたしかに $\operatorname{Gal}(M/K) \cong G/H$ が成り立つ.

( $\Leftarrow$:) $x\in L^H, g \in G$ とする。 $\forall \sigma \in H$ にたいして、

$$\sigma.(g. x)=g (g^{-1}\sigma g). x=g.x$$

よって $g.x\in L^H$.

命題 14.2   $K$ が $1$ の原始 $n$ 乗根 $\zeta_n$ を含むとする。 $L=K(\alpha)$, $\alpha^n \in K$, $\operatorname{char}(L)\nmid n$ ならば、 $L$ は $K$ のガロア拡大であり、ガロア群 $\operatorname{Gal}(L/K)$ は可換群である。 (言い方を換えると、$L$ は $K$ のアーベル拡大である。)

定義 14.3 (参考)   群 $G$ が可解群であるとは、$G$ の部分群の列

$$\{e_G\}=G_0\subset G_1 \subset G_2 \subset \dots \subset G_n=G$$

であって、次の条件を満たすようなものが存在するときに言う。

• 各 $i$ について、 $G_i$ は $G_{i+1}$ の正規部分群である。
• 各 $i$ について、 $G_{i+1}/G_{i}$ はアーベル群である。

命題 14.4   $k$ は $1$ のべき根を十分多く含んでいるとする。 体 $k$ 上代数的独立な元 $x_1,x_2,\dots,x_n$ にたいして、 $s_1,s_2,\dots,s_n$ をその基本対称式とする。

$$(X-x_1)(X-x_2)\dots (X-x_n) = X^n-s_1 X^{n-1}+ s_2 X^{n-2}-s_3 X^{n-3}+\dots +(-1)^n s_n.$$

このとき $L=k(x_1,x_2,\dots,x_n)$ , $K=k(s_1,s_2,\dots,s_n)$とおくと、

1. $L$ は $K$ のガロア拡大である。
2. $G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \frak S_n$ ($n$次の対称群).
3. $n\geq 5$ のとき、$G$ は可解群ではない。

このことから、 5次以上の一変数代数方程式について、和、差、積、商とべき根だけからなる解の公式は 存在しないことがわかる。