体論要約 No.9

今日のテーマ:ガロア拡大とガロア群

[今日はおもに No08のプリントを使います。 ]

補題 9.1   $K$ を体、 $L=K(\gamma)$ をその有限次単純代数拡大とする。

$\Omega$ を $K$ の拡大体とするとき、

$$\char93 \operatorname{Hom}_K^{{\operatorname{alg}}}(L,\Omega) \leq [L:K].$$

うえの不等式で等号が成り立つための必要十分条件は、 次の２つのことがともに成り立つことである。

1. $\gamma$ の最小多項式 $m(X)$ が $\Omega$ の中で一次式の積に分解される。
2. $\gamma$ の最小多項式 $m(X)$ が $\Omega$ の中に重根を持たない。

(これは $K$ が $L$ のガロア拡大であることにほかならない。)

補題 9.2   $K$ を体、 $L=K(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_k)$ をその有限次代数拡大とする。 もし、 $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_k$ のどの元もその $K$ 上の共役が $\Omega$ 内にすべて存在し、それぞれが $K$ 上重根を持たない方程式を $K$ 上でみたせば、

$$\char93 \operatorname{Hom}_K^{{\operatorname{alg}}}(L,\Omega) = [L:K].$$

系 9.3   $K$ を体、 $L=K(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_k)$ をその有限次代数拡大とする。 もし、 $\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_k$ のどの元もその $K$ 上の共役が $\Omega$ 内にすべて存在し、それぞれが $K$ 上重根を持たない方程式を $K$ 上でみたせば、 $L$ は $K$ のガロア拡大である。