微分積分学概論AI要約 No.10

定義 10.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $D$ 上で定義された $f$ が $D$ で連続であるとは、その定義域の全ての点 $a$ で連続であること、すなわち、

$$\forall a \in D \forall \epsilon >0 \exists \delta>0 ; \forall x\in D \left( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon \right)$$

が成り立つときに言う。

上の定義は、$D$ が開区間や閉区間に限らず、一般的に 適用できる形で述べられている。詳しくは多変数の場合に譲ろう。

定理 10.2   同じ定義域 $D$ を持つ連続関数 $f,g$ について、

1. $\lambda f + \mu g$ も連続関数である。
2. $f g$ も連続関数である。
3. $D$ の部分集合 $D_0=\{ x\in D; g(x)\neq 0\}$ において、 $f/g$ も連続関数である。

系 10.3  

1. $x$ の多項式で定義される関数(多項式関数)は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ で連続である。
2. $x$ の有理式で定義される関数
   $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$   ($p,q$ は $x$ の多項式)
   (有理関数)は、 $D_q=\{x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; q(x)\neq 0\}$ で連続である。

上の定理は、下の定理の多変数版を用いるともっと鮮やかに証明される

定理 10.4   二つの連続関数の合成関数は連続である。

次のことは、「連続 $\implies$ グラフがつながっている」ということの 表現法の一つと言える。

定理 10.5 (中間値の定理)   関数 $f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続(すなわち、$[a,b]$ の各点で連続)とする。 このとき $f(a)$ と $f(b)$ の中間の値 $\gamma$ にたいして、 $f(c)=\gamma$ をみたすような $c\in [a,b]$ が存在する。

上の定理は、位相空間論において「連結集合の連続像は連結である」という 定理に一般化される。 (区間は実数直線の連結部分集合として特徴づけることができる。)

問題 10.1  

$$f(x)=\frac{3 x +5}{x}$$

とおくと、$f$ は $D=\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x\neq 0\}$ において連続であることを 定義にしたがって(つまり定理10.2 や系10.3に頼らずに) 証明しなさい。