線形代数学II No.9要約

今日のテーマ: 行列の対角化。

今回も引き続き、行列は複素数体 ${\mathbb{C}}$ 上で考える。

1. $n$ 次正方行列 $A$ に対して、 $A$ の固有多項式 $\operatorname{det}( x E_n -A)$ の根が $A$ の固有値。
2. $\lambda$ が $A$ の固有値 ${\Leftrightarrow}$ $(A-\lambda E_n ) \mathbbm x={\pmb 0}$ が非自明な解を持つ。 この解が $A$ の(固有値 $\lambda$ に属する) 固有ベクトルである。
3. $k\leq n$ に対して、
   $$A \mathbbm x_i = \lambda_i \mathbbm x_i \qquad (i=1,2,3,\dots, k)$$
   という等式を得たならば、それらを並べる(連結する)ことができる。じっさい、 $P= (\mathbbm x_1 \mathbbm x_2 \mathbbm x_3 \dots \mathbbm x_k)$ をもちいて、
   $$A P = P D \qquad ($$但し $D=diagonal(&lambda#lambda;_1,&lambda#lambda;_2,...,&lambda#lambda;_k)$$$)$$
   と書ける。 ここのところは、
   $$\mathbbm x_i \overset{A\times}{\mapsto } A \mathbbm x_i$$
   が $P$ により、
   $$\mathbbm e_i \overset{D\times}{\mapsto } \lambda_i \mathbbm e_i$$
   と比べられることを意味している。

4. とくに、$A$ の固有ベクトルたちで、$n$個の一次独立なものが見つかれば、 $A$ を対角化できる。