線形代数学II No.8要約

今日のテーマ: 行列の対角化。

今回も引き続き、行列は複素数体 ${\mathbb{C}}$ 上で考える。

定義 8.1   正方行列 $A,B$ が相似 ${\Leftrightarrow}$ 正則行列 $\exists P$ があって、 $A=P^{-1}B P$.

この言葉を使うと、 $A$ の対角化とは、$A$ と相似な対角行列を求めることであると言ってもよい。

補題 8.2   相似な正方行列の固有多項式は等しい。

補題 8.3   $n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能 ${\Leftrightarrow}$ $n$ 個の一次独立な $A$ の固有ベクトルが存在。

系 8.1   $A$ の固有方程式が重根を持たないならば、$A$ は対角化可能である。