環論要約 No.1

この講義の前半では、次の定理の証明を目標とする。

定理 1.1 (環の準同型定理)   環 $R$ から別の環 $S$ への準同型写像 $\phi:R\to S$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。

1. $\phi$ の像 $\operatorname{Image}\phi$ は $S$ の部分環である。
2. $\phi$ の核 $I=\operatorname{Ker}\phi$ は $R$ のイデアルである。
3. 剰余環 $R/I$ は $\operatorname{Image}\phi$ と同型である。

後半では、環や体の実例、とくに「一次元の環」 について詳しく扱う。

《環の定義・部分環の定義》

環とは、足し算、引き算と掛け算ができる集合のことである。

部分環とは、部分集合であって環になっているもののことである。

定義 1.1 (環の定義)   集合 $R$ が環であるとは、足し算と呼ばれる写像

$$+: R\times R \to R$$

と掛け算と呼ばれる写像

$$\times :R\times R \to R$$

が定義されていて次の性質を満たす時に言う。

1. $R$ は足し算に関して可換群をなす。
2. $R$ の積は結合法則を満たす。
3. $R$ の足し算と掛け算は分配法則を満たす。すなわち、任意の $a,b,c \in R$ に対して、次のことが成り立つ。
   $$(a+b)\times c=a\times c+b\times c,\quad c\times (a+b)=c\times a+c\times b$$

4. $R$ は積に関して単位元を持つ。すなわち、ある $u\in R$ が存在して、 すべての $x\in R$ に対して、 $xu=x$ かつ $ux=x$ が成り立つ。

(群論で習ったように、 条件(1)は言い換えれば、「$R$ の元は足し算、引き算がその中でできる」 という意味である。

野球の選手を集めて野球チームをつくるように、 数を集めて環を作ることができる。 環を扱う諸君はさながらチームの監督である。 「数」や「多項式」は歴史的な名プレーヤーである。 これらについては普通の和、積については結合法則や分配法則等が自動的に なりたっていることが多いのでそこはクドクド言う必要はない。

まずは「名門」チームの幾つかを知っておくべきであろう:

例 1.1   次のものは通常の足し算、掛け算によって環になる。

1. (重要)整数全体のなす集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
2. 有理数全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
3. 実数全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$.
4. 複素数全体のなす集合 ${\mathbb{C}}$.
5. 実数を成分として持つ2次の正方行列全体のなす集合 $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$.
6. (重要)実数上の一変数多項式全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$.

補題 1.1   任意の環 $R$ に対して、次のことがなりたつ。

1. $R$ の和に関する単位元は、ただ一つである。
2. $R$ の積に関する単位元は、ただ一つである。

証明. (1) については、群論で学んだはずである。(ただし、(2)と同様の証明も 可能である。)

(2) $R$ の単位元が(見掛け上)二つあったとして、それらを $u,v$ とおくと

$$u \underset{(\text{$v$ は単位元})} {=} u v \underset{(\text{$u$ は単位元})}{=} v$$

すなわち、両者は実は等しい。 $\qedsymbol$

今後、環 $R$ の和に関する単位元を 0 (時には $0_R$)と書き、$R$ の零元 と呼ぶ。 また、環 $R$ の積に関する単位元を $1$ (時には $1_R$)と書き、 単に 「$R$ の単位元」と言ったときにはこの $1$ のことをさす。

環の零元と、単位元は、野球の投手と捕手と言ったところか。

ときには、チームの中の一部分が、 「特別遠征チーム」として戦わねばならないときもある:

定義 1.2 (部分環の定義)   $R$ が単位元をもつ環であるとする。$R$ の部分集合 $S$ が $R$ の部分環であるとは、$S$ が次の条件を満たす時にいう。

1. $S$ は $R$ の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
2. $S$ は $R$ の単位元を元として含む。

例 1.2   次のものは複素数全体のなす環 ${\mathbb{C}}$ の部分環である。

1. 整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
2. 有理数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
3. 実数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$.

数や行列などの、見知ったもの(名選手)を集めた集合 $S$ を作ったとする。 それが環になるか否かの判定に重要なのは、 $S$ には必要なメンバーが揃っているか、ということである。 つまり $R$ のなかの元を足したり、引いたり、掛けたりしたときに $R$ のなかからはみ出す、ということがあってはならない。 そこだけ押さえれば 名選手たちなら最小限のことはしてくれる。

例 1.3   つぎのものは(通常の和、積について)環ではない。

1. $\{0,1\}$.
2. 0 以上の整数の集合 $\mathbb{N}$.
3. (正のものも負のものもふくめた)すべての奇数の集合 $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$.
4. 虚部が整数であるような複素数の全体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$+\sqrt{-1} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.

問題 1.1   $\frac{1}{2}$ の整数倍をすべて集めた集合

$$\frac{1}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\frac{n}{2}; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

は(通常の和、積について)環ではないことを示しなさい。