線形代数学II No.12要約

今日のテーマ: べき零行列の標準形

今回も引き続き、行列は複素数体 ${\mathbb{C}}$ 上で考える。

定義 12.1   行列 $A \in M_n({\mathbb{C}})$ がべき零であるとは、ある正の整数 $N$ が存在して $A^N=O$ が成り立つときにいう。

行列 $A \in M_n({\mathbb{C}})$ が与えられているとする。 $\lambda\in {\mathbb{C}}$ に対して

$$V_{\lambda}=\{\mathbbm v \in {\mathbb{C}}^n\vert \exists N >0$$ such that $$(A-\lambda E_n) ^N \mathbbm v={\pmb 0} \}$$

のことを $A$ の $\lambda$ に属する弱固有空間 と呼ぶのであった。 $A$ は弱固有空間 $V_\lambda$ 上に作用していて( $A V_\lambda \subset V_\lambda$), $A-\lambda E_n$ は $V_\lambda$ 上 べき零である。

したがって、べき零行列の標準形が興味の対象になる。

補題 12.2   $N\in M_n({\mathbb{C}})$ について、次のことは同値である。

1. $N$ はべき零である。
2. $N$ は、対角成分がすべて 0 であるような上半三角行列と相似である。

系 12.1   $N_n \overset{\rm {def}} {=} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 &\dots& 0 & 0 \\ 0 ... ... 0 & 0 & 0 & 0 &\dots& 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\dots& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ はべき零行列である。

$N_n$ は基本ベクトルを $\mathbbm e_n \mapsto \mathbbm e_{n-1} \mapsto \mathbbm e_{n-2} \mapsto \dots \mapsto \mathbbm e_{2} \mapsto \mathbbm e_{1} \mapsto {\pmb 0}$ と写すことに注意。

定理 12.3   任意のべき零行列は

$$\begin{pmatrix} N_{k_1} \\ & N_{k_2} \\ && N_{k_3} \\ &&&\ddots \\ &&&&& N_{k_2} \\ &&&&&& N_{k_l} \end{pmatrix}$$

の形の行列と相似である。