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環論 No.5要約

《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

前回までに、環 $R$ の、そのイデアル $I$ による剰余環について解説した。

$$\bar{x}=\bar{y} {\Leftrightarrow} x-y \in I$$

なる判定法(定義)により $R$ にクラス分けが入ること、$R/I$ に加法、乗法が 代表元のとり方によらずに定まることがポイントであった。 たとえば ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、

$$\overline{153}\times \overline{493}$$

を計算するのに、 $\overline{153\times 493}$ を計算してもよいが、 $\overline{153}=\overline{-1}, \overline{493}=\overline{-2}$ と代表元を取り換えてから $\overline{-1}\times \overline{-2}$ とやっても良いわけである。

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次のことにも注意しておこう。

一般に、$R/I$ とは環 $R$ に $I$ の各元 $x$ に応じた関係式 $x=0$ を 新たに導入しててきた環であるということが結果的にわかる。例えば:

• ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とは、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に新たな関係式 $6=0$ を導入してできた環である。
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$ とは、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ に新たな関係式 $X^2-2=0$ を 導入してできた環である。
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]/(X^2-2,XY)$ とは、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ に新たな関係式 $X^2-2=0,XY=0$ を 導入してできた環である。

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のような剰余環の性質は、いままで知っていた数のものとは若干異なる。 そのことを説明するために、いくつかの言葉を用意しておく。

定義 5.1   可換環 $R$ の元 $x$ が $R$ の零因子であるとは、 $xy=0$ かつ $y\neq 0$ をみたす $R$ の元 $y$ が存在するときに言う。

定義 5.2   可換環 $R$ があたえられたとする。

1. $R$ に 0 以外の零因子がないなら、 $R$ は整域であるという。
2. $R$ の 0 以外の元が $R$ で可逆であるとき、$R$ は体であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.3   可換環 $R$ のイデアル $I$ ($R\neq I$)について、

1. $R/I$ が整域であるとき、$I$ は $R$ の素イデアルであるという。
2. $R/I$ が体であるとき、$I$ は $R$ の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来についてや、 さしあたって重要な 次の例についての証明などの詳しいことについては もっとあとのほうの講義で述べる。

例 5.1  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $\{0\}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の素イデアルであるが、 極大イデアルではない。
2. 素数 $p$ があたえられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の極大イデアルである。
3. 正の整数 $n$ が素数でないとき、 $n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルではあるが、 素イデアルではない。

定義 5.4   素数 $p$ が与えられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は(上の例に述べたように)元の数が $p$ の体である。 この体を ${\mathbb{F}}_p$ と書く。