Zorn の補題

このページは Wikipediaの Zorn の補題の項(2017/10/25閲覧)のコピペを、 若干記号等を好みに応じて変更したものである。

定理 0.1   順序集合 $ \mathcal S$ があるとする。もし $ \mathcal S$ の任意の鎖が $ \mathcal S$ 内に上界を持つとすると、 $ \mathcal S$ は極大元を持つ。

Zornの補題を使って、次のことを示せる:

補題 0.2   環 $ R$ とそのイデアル $ I_0$ で、 % latex2html id marker 1033
$ R \supsetneq I_0$ を満たすものがあったとする。 このとき、$ I_0$ を含む $ R$ の極大イデアルが存在する。 とくに、$ \{0\}$ でない環 $ R$ は極大イデアルを持つ。

Proof. Zorn の補題で

$\displaystyle \mathcal S=
\{$$I_0$ を含む $R$ の(両側)イデアルのうち $R$ 自身以外からなるもの$\displaystyle \}
$

を考える。 $ \mathcal S$$ I_0$を含むので空ではない。 $ \mathcal S$ は包含関係により半順序集合である。 $ R$ の極大イデアルを見つけることは $ \mathcal S$ の極大元を見つけることと同じである。

Zornの補題を適用するために、 $ \mathcal S$ の空でない全順序部分集合 $ \mathcal \mathcal T$ をとる。 $ \mathcal T$ に上界が存在することを示す必要がある。 つまり、イデアル $ I\subset R$ が存在して、 それは $ \mathcal T$ のどの要素より以上であり、 しかも $ R$ よりは厳密に小さいことを示す必要がある。 $ I$ $ \mathcal T$ の全てのイデアルの和集合とする。 $ \mathcal T$ は少なくともひとつ元を持ち、 それは $ I_0$ を含んでいるので、和集合 $ I$$ I_0$ を含み、 とくに空集合ではない。 $ I$ がイデアルであることを示すため、$ a$$ b$$ I$ の元とすると、 ふたつのイデアル $ J, K \in \mathcal T$ が存在し、 $ a \in J$ であり、$ b \in K$ ある。 $ \mathcal T$ は全順序であったので、 $ J \subset K$ または $ K \subset J$ である。 前者の場合は、$ a$$ b$ もともに $ K$ の元であり、 和 $ a + b$$ K$ の元である。 よって、$ a + b$$ I$ の元である。 後者の場合は、$ a$$ b$ もともに $ J$ の元であるから、 同様に $ a + b$$ I$ の元である。さらに、任意の $ r \in R$ に対して、 $ ar $$ ra$$ J$ の元であるから、$ I$ の元でもある。 以上により、$ I$$ R$ のイデアルであることが分かった。

そして、イデアルが $ R$ と一致することは $ 1$ を含むことと同値である。 そこで、$ I$$ R$ に等しいと仮定すると、それは $ 1$ を含み、 $ \mathcal T$ のある要素が $ 1$ を含むことになり、それは $ R$ と一致する。 しかし、これは $ \mathcal S$ から $ R$ を除いていたことに矛盾する。

Zornの補題の条件は確認できたので、 $ \mathcal S$ には極大元が存在する。 言い換えると、$ R$ には極大イデアルが存在する。 % latex2html id marker 1043
$ \qedsymbol$

上のように、Zorn の補題の適用時には、 ある一つの集合の部分集合の全体あるいは一部(この場合は全体とは異なるイデアル) を使用することも多い。

Zorn の補題の証明の概略。


\begin{itembox}
% latex2html id marker 254
[l]{Zorn の補題}
順序集合 $ S$...
...$
を満たすような $S$\ の極大元 $m$\ が存在する。
\end{itembox}

以下では $ s_0 \in S$ を固定し、補題の後半部分を証明する。

$\displaystyle \mathcal A=\{$   $s_0$ を元として含むような $S$ の鎖$\displaystyle \}
$

とおく。 $ \mathcal A$ は包含関係に関して順序集合をなす。
  1. $ \mathcal A \ni \{s_0\}$ よって $ \mathcal A$ は空ではない。
  2. $ \mathcal A$ の任意の鎖 $ \mathcal T$ は上限(=最小上界)を持つ。

さて、 $ \mathcal A$ の任意の元 $ T$ をとってくる。 $ T$$ S$ の鎖であるから、仮定により $ S$ 内に上界 $ a_T$ を持つ。 $ a_T$$ S$ の極大元ならば話は終わりであるから、 $ a_T$ は極大ではないとしてよい。したがって、 ある $ b_T \in S$ が存在して、$ b_T$$ T$ のどの元よりも大きい。 そこで、おのおのの $ T \in \mathcal A$ に対してそのような $ b_T$ を選び、写像 $ f:\mathcal A \to \mathcal A$

$\displaystyle f(T)=T\cup \{ b_T\}
$

で定義する。

(3) $ f$ $ \mathcal A$ から $ \mathcal A$ への増加写像である。

今の場合、 $ f$ は狭義増加者像であるから、次の Bourbakiの補題に反する。


\begin{itembox}
% latex2html id marker 261
[l]{Bourbakiの補題}
順序集合 $...
...存在して、$x_0 \geq a_0$\ かつ
$f(x_0)=x_0$\ である。
\end{itembox}

Bourbaki の補題の証明の概略。

$ M\subset A$$ f$-認容であるというのを

  1. $ f(M)\subset M$
  2. $ M$ の任意の鎖 $ T$ に対して、 $ \sup(T)\in M$
で定義する。

$ M=\langle a_0 \rangle$ を,「$ a_0$ をふくむ $ f$-認容な $ A$ の部分集合のうち 最小のもの」として定義する。$ M$$ a_0$ を含む $ f$-認容な $ A$ の部分集合の 全体の共通部分であり、「$ f,\sup$ を作用として $ a_0$ で生成されたような集合」 と思っても差し支えない。 この証明の核心はつぎのことである。
\begin{itembox}[l]{証明の核心}
$\langle a_0 \rangle =M$\ 自身も全順序集合(つまり、鎖)である。
\end{itembox}
これがわかると、$ M$ 自体が上限 $ m_0$ をもち、 $ M$$ f$-認容性から $ m_0 \in M$ である。 $ f$ の増加性から $ f(m_0)=m_0$ すなわち Bourbaki の補題の $ x_0$ としては $ m_0=\sup(\langle a_0 \rangle )$ を取れば良いことがわかるという寸法である。

では「核心」の証明はというと、以下 CM ...じゃなくて次ページ。

  1. $ M\ni c$ が extreme $ {\Leftrightarrow}$ % latex2html id marker 1274
$ \forall x \in M (x<c\implies f(x)\leq c $ で、「extreme な元」を定義する。
  2. extreme な元 $ c$ に対して、 % latex2html id marker 1278
$ M_c=\{x \in M ;\vert x\leq c$    or % latex2html id marker 1279
$ f(c) \leq x\}$ と定義すると、$ M_c$ 自身も $ f$-認容なことがわかり、したがって $ M=M_c$.
  3. $ M_{\text{extreme}}=\{c \in M\vert \text{$c$\ は extreme}\}$ と定義すると、 これもまたもや $ f$-認容であることがわかって、 $ M=M_{\text{extreme}}$
  4. (3)のことから、直ちに $ M$ は全順序集合であることがわかる。

という具合。詳しくは成書をご覧いただきたい。

この稿では

S. Lang Real and functional analysis third edition (GTM)

を参考にした。