Zornの補題を使って、次のことを示せる:
Zornの補題を適用するために、 の空でない全順序部分集合 をとる。 に上界が存在することを示す必要がある。 つまり、イデアル が存在して、 それは のどの要素より以上であり、 しかも よりは厳密に小さいことを示す必要がある。 を の全てのイデアルの和集合とする。 は少なくともひとつ元を持ち、 それは を含んでいるので、和集合 も を含み、 とくに空集合ではない。 がイデアルであることを示すため、 と を の元とすると、 ふたつのイデアル が存在し、 であり、 ある。 は全順序であったので、 または である。 前者の場合は、 も もともに の元であり、 和 も の元である。 よって、 は の元である。 後者の場合は、 も もともに の元であるから、 同様に は の元である。さらに、任意の に対して、 と は の元であるから、 の元でもある。 以上により、 は のイデアルであることが分かった。
そして、イデアルが と一致することは を含むことと同値である。 そこで、 が に等しいと仮定すると、それは を含み、 のある要素が を含むことになり、それは と一致する。 しかし、これは から を除いていたことに矛盾する。
Zornの補題の条件は確認できたので、 には極大元が存在する。 言い換えると、 には極大イデアルが存在する。
上のように、Zorn の補題の適用時には、 ある一つの集合の部分集合の全体あるいは一部(この場合は全体とは異なるイデアル) を使用することも多い。
Zorn の補題の証明の概略。
以下では を固定し、補題の後半部分を証明する。
さて、 の任意の元 をとってくる。 は の鎖であるから、仮定により 内に上界 を持つ。 が の極大元ならば話は終わりであるから、 は極大ではないとしてよい。したがって、 ある が存在して、 は のどの元よりも大きい。 そこで、おのおのの に対してそのような を選び、写像 を
(3) は から への増加写像である。
今の場合、 は狭義増加者像であるから、次の Bourbakiの補題に反する。
Bourbaki の補題の証明の概略。
が -認容であるというのを
を,「 をふくむ -認容な の部分集合のうち
最小のもの」として定義する。 は を含む -認容な の部分集合の
全体の共通部分であり、「 を作用として で生成されたような集合」
と思っても差し支えない。
この証明の核心はつぎのことである。
これがわかると、 自体が上限 をもち、
の -認容性から である。
の増加性から
すなわち Bourbaki の補題の としては
を取れば良いことがわかるという寸法である。
では「核心」の証明はというと、以下 CM ...じゃなくて次ページ。
という具合。詳しくは成書をご覧いただきたい。
この稿では
S. Lang Real and functional analysis third edition (GTM)
を参考にした。