反変、共変ベクトル

$M$ の各点 $x$ に対して、接空間 $T_x M$ を考えると、接ベクトル空間の族 $T_x M \quad (x\in M)$ を考えることができる。 $v_x \in T_x M (x\in M)$ を接ベクトル場(“反変ベクトル場”)と呼ぶ。

$M$ の各点 $x$ に対して接空間 $T_x M$ の双対空間 $T^*_x M$ を 考えることができる。これにより余接空間の族、余接ベクトル場を同様に定義できる。

$T_x M (x\in M)$ や $T^*x M (x\in M)$ のいくつかのテンソル積

$$(T_x M\otimes T_x M \otimes \dots \otimes T_x M) \otimes (T^*_x M\otimes T^*_x M \otimes \dots \otimes T^*_x M)$$

を考えると、 それはまたベクトル空間の族となり、各 $x$ に対して

$$\v _x \in (T_x M\otimes T_x M \otimes \dots \otimes T_x M) \otimes (T^*_x M\otimes T^*_x M \otimes \dots \otimes T^*_x M)$$

を考えたものが、「テンソル」である。