環論 No.7要約

《多項式環の扱い方と環準同型定理》

環 $R$ から $S$ への準同型 $f$ が与えられたとき、 写像に関する一般論から $f$ による $R$ のクラス分けができる。 それは $\operatorname{Ker}(f)$ による $R$ のクラス分けと一致するのでした。

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環 $R$ 上の一変数多項式環 $R[X]$ とは、 $R$ の元と、一つの変数 $X$ とで生成される 環であった。同様に $R[X_1,X_2,\dots,X_n]$ を定義することができる。 その出自から当然、次の補題が成り立つ

補題 7.1   任意の環 $R$ について、

$$R[X][Y]\cong R[X,Y]$$

という自然な同型が存在する。 もっと一般に

$$R[X_1,X_2,\dots,X_n] \cong R[X_1,X_2,\dots,X_{n-1}][X_n]$$

がなりたつ。

命題 7.1 (代入原理)   環 $S$ とその部分環 $R$ が与えられているとする。 このとき、任意の $S$ の元の$n$ 個の組 $s=(s_1,s_2,\dots,s_n)$ にたいして、 次のような環準同型 $\psi_s[X_1,X_2,\dots,X_n] \to S$ が 唯一つ存在する。

1. $\psi(r)=r \qquad(\forall r\in R),$
2. $\psi(X_j)=s_j\qquad (j=1,2,3,\dots,n).$

さらに、$\psi$ は次のような形で与えられる。

$$\psi(p)=p(s_1,s_2,\dots,s_n)$$

例 7.1   環としての同型 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]/(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X] \cong {\mathbb{C}}$ が 存在する。 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ から ${\mathbb{C}}$ への写像 $f$ を、

$$f(p)=p(\sqrt{-1})$$

で定めると、次のことが分かる。

1. $f$ は写像としてうまく定義されている。
2. $f$ は環の準同型である。
3. $f$ の像は ${\mathbb{C}}$ 全体である。
4. $f$ の核は $(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ である。

よって、準同型定理により、

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X]/(X^2+1)$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X] \cong {\mathbb{C}}$$

が結論される。

問題

環準同型 $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が与えられていて、$f(X)=3$ だと 分かっているとする。 このとき、

1. 多項式 $X^2+3X+5 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の $f$ による像を具体的に求めなさい。
2. $\operatorname{Ker}(f)$ の元で、 0 と異なるものを具体的に3つあげなさい。