代数学 IA No.15要約

今日のテーマ: 共役

定義 15.1   群 $G$ の元 $a,b$ が $G$ の中で共役であるとは、 ある $g\in G$ が存在して、 $g a g^{-1}=b$ が成り立つときに言う。

補題 15.2   群 $G$ が与えられたとき、$G$ 内で共役であるという関係は 同値関係である。

補題 15.3   $G=\mathfrak{S}_n$ において、 $\sigma\in G$ の $\tau \in G$ による共役を $\tilde\sigma$ と書くと、 $\tilde\sigma (\tau (a))=\tau(\sigma(a))$ ゆえに、 $\tilde\sigma$ は $\tau(a)$ を $\tau (\sigma(a))$ にうつす。 二行の表示を用いると、

$$\sigma= \begin{pmatrix} 1& 2& 3& 4& \dots &n\\ i_1& i_2& i_3& i_4& \dots &i_n \end{pmatrix}$$

のとき、

$$\tilde\sigma= \begin{pmatrix} \tau(1)& \tau(2)& \tau(3)& \tau(4)&... ...)\\ \tau(i_1)& \tau(i_2)& \tau(i_3)& \tau(i_4)& \dots &\tau(i_n) \end{pmatrix}$$

である。つまり、 $\tilde\sigma$ は $\sigma$ にあらわれる文字 $?$ を ことごとく $\tau(?)$ により置き換えたものである。

定義 15.4   群 $G$ が与えられたとき、$G$ 内で共役であるという関係で クラスわけした各クラスの元の個数を $\{h_i\}_{i=1}^t$ と(順不同で)書いたとき、

$$h_1+h_2+\dots+h_t=\vert G\vert$$

なる関係式がもちろん成り立つ。この等式を類等式と呼ぶ。

なお、$h_i$ の順番はどうでも良いと書いたが、通常 1番目は $G$ の単位元 $e$ の クラスに当てるのが普通である。この場合は $h_1=1$ になる。

つぎの命題の証明の考え方は、群の準同型定理に似たところがある。

命題 15.5   群 $G$ の元 $a$ に対して、その共役類を $K(a)$ と書き、さらに $a$ の中心化群 $Z(a)$ を

$$Z(a)=\{g \in G; g a =a g\}$$

で定義すると、$Z(a)$ は $G$ の部分群であって、$K(a)$ と $G/Z(a)$ との 間には一対一に対応がつく。とくに、$G$ が有限なら、

$$\char93 (K(a))= \char93 (G/Z(a))=\vert G\vert/\vert Z(a)\vert$$

という等式が成り立つ。

注意: $Z(a)$ の計算においてはどの群で考えているかが重要な意味を持つ。 そこで、そのような区別が必要なときには $Z(a)$ のことを $Z_G(a)$ などと $G$ を添字につけて表すことがある。$K(a)$ についても同様に、$K_G(a)$ などと 書く場合がある。