線形代数学II No.5要約

今日のテーマ: 直交射影を表す行列

まずは復習から:

1. 一次独立なベクトルは「三角変換」(補題3.2のような「三角行列」で書けるような変換) で直交系に直せた。
2. さらに、おのおのの長さで割ることにより、正規直交系を得ることができる。

これがシュミットの直交加法であった。 (なお、定理3.3 で書かれるものも3.4 で書かれるものも「三角行列」と呼ばれ、 区別のためには前者を「狭義三角行列」とよんだりする。) 他方で、

1. 内積は、基底 $B=(\mathbbm u_1,\mathbbm u_2, \dots \mathbbm u_k)$ を一つ採るとグラム行列 $A_B$ で書くことができる。 グラム行列は $A_B=(\mathbbm u_i\cdot\mathbbm u_j)_{ij}$で与えられる 行列であり、
   $$(1 \mathbbm u_1 + 2 \mathbbm u_2 + 3 \mathbbm u_3) \cdot (4 \mat... ...bbm u_2 + 6 \mathbbm u_3) =(1 2 3 ) A_B \begin{pmatrix}4\ 5\ 6\end{pmatrix}$$

2. 内積の関係式は前項の行列算を積み上げる(行列の連結をする)ことで行列の関係式として書くこともできる。
3. 正規直交基底に関するグラム行列は単位行列である。(標準的な内積に一致)

以下では、標準的な内積を用いる。

補題 5.1   $n\times r$ 行列 $T$ に対して、 ${}^t T T=E_r$ ${\Leftrightarrow}$ $T$ の列ベクトルは正規直交系。

正方行列 $T$ に対して、 $T$ の列ベクトルが正規直交系をなすとき、 $T$ を直交行列と呼ぶ。

補題 5.2   $n$ 次正方行列 $T$ に対して、次は同値である。

1. $T$ は直交行列
2. ${}^t T T=E_n$
3. $T {}^t T=E_n$

補題 5.3   $n\times n$ 行列 $A$ に対して次は同値である。

1. 行列 $A$ が直交射影
2. ある $n\times r$ 行列 $T$ が存在して $A=T {}^t T$, ${}^t T T=E_r$
3. $A^2=A, {}^t A=A$.