微分積分学基礎 No.15

例題 15.1 $e^{x^2} \sin(x)$ を

のまわりでテイラー展開し、

の

乗の項まで (つまり

の誤差項を許して) 計算したものを例にならって書け。

例:

$\displaystyle e^x= 1 + x +\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6} +\frac{x^4}{24} +\frac{x^5}{120} +O(x^6)$

例題 15.2

$\displaystyle \int_2^\infty \frac{\log(t)}{t^3} d t$

を求めよ。

例題 15.3

$\displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-5 x}}{(1+e^{-5 x})}dx$

をもとめよ。

15.1

	$\displaystyle e^{x^2} \sin(x)$
$\displaystyle =$	$\displaystyle (1+ x^2+ \frac{x^4}{2}+O(x^6))(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+O(x^6))$
$\displaystyle =$	$\displaystyle x+ \frac{5 x^3}{6} + \frac{41 x^5}{120}+ O(x^7)$

15.2

$\displaystyle \left(\frac{\log(t)}{t^2}\right)'=\frac{1}{t^3}- 2 \frac{\log(t)}{t^3}$

ゆえ、

$\displaystyle \int \frac{\log(t)}{t^3} d t = -\frac{1}{4 t^2}-\frac{\log(t)}{2t^2}$

$\displaystyle \int_2^\infty \frac{\log(t)}{t^3} d t = \frac{1}{16}+ \frac{\log(2)}{8}$

15.3

$\displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-5 x}}{(1+e^{-5 x})}dx$

$t=1+ e^{-5x}$ とおく。 $d t = -5 e^{-5x} d x$ であり、

のとき

. そこから

を増加させて $\infty$ まで動くとき、

は単調に減少して

まで動くから、

	$\displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-5 x}}{(1+e^{-5 x})}dx$
$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{5} \int_2^1 \frac{1}{t} d t$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{5} \int_1^2 \frac{1}{t} d t$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{5} \left[\log(t)\right]_1^2$
$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\log(2)}{5}$