微分積分学基礎 No.12要約

今日のテーマ:積分の正値性

命題 12.1 (積分の線形性)   $[a,b]$ で定義された連続関数 $f,g$ と実数 $c$ に対して、 次のことが成り立つ。

1. $$\int _a^b f(x)+g(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^bg(x) dx$$
2. $$\int_a^b c f(x) dx = c \int_a^b f(x) dx$$

言うまでもないことだが、不定積分 etc も線形性をもつ。

命題 12.2 (定積分の正値性)   $[a,b]$ 上で連続な関数 $f$ にたいして、 $f(x)\geq 0$ $(\forall x \in [a,b])$ なら、

$$\int_a^b f(x) d x \geq 0.$$

系 12.3  

1. $[a,b]$ 上で連続な関数 $f,g$ にたいして、 $f(x)\geq g(x)$ $(\forall x \in [a,b])$ なら、
   $$\int_a^b f(x) d x \geq \int_a^b g(x) dx$$

2. $[a,b]$ 上で連続な関数 $f$ と、定数 $m,M$ にたいして、 $m \leq f(x)\leq M$ $(\forall x \in [a,b])$ なら、
   $$m(b-a)\leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$$

3. $[a,b]$ 上で連続な関数 $f$ にたいして、 $\vert f(x)\vert\leq M$ $(\forall x \in [a,b])$ なら、
   $$\vert\int_a^b f(x) dx\vert \leq \int_a^b \vert f(x)\vert dx$$

4. $[a,b]$ 上で連続な関数 $f$ と定数 $M$ にたいして、 $\vert f(x)\vert\leq M$ $(\forall x \in [a,b])$ なら、
   $$\vert\int_a^b f(x) dx\vert \leq M(b-a)$$

上記系をうまく用いることで下の定理の左辺を評価できる。

定理 12.4   $f$ が $C^{n+1}$-級であるとき、

$$f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k =\frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt$$