代数学 IA No.14要約

群の集合への作用と表現

定義 14.1   群 $G$ の集合 $X$ への作用とは、次のような条件を満たす写像

$$G\times X \ni (g,x)\to g.x \in X$$

のことである。

1. $(g_1 g_2). x = g_1.(g_2. x)$ ( $\forall g_1,g_2\in G, \forall x \in X$ ).
2. $e.x=x$ ( $\forall x \in X$ ).

例 14.2   群 $G$ と、その部分群 $H$ が与えられたとき、$G$ は $G/H$ に

$$g. [ x ] =[ g x ]$$

により作用する。($[x]$ は $x\in G$ の $G/H$ でのクラス).

例 14.3   群 $G$ の $G$ への作用を次の三種類定義することができる。

1. $g. x=g x$ . (左作用)
2. $g . x = x (g^{-1})$ . (右作用)
3. $g. x = g x g^{-1}$ . (共役による作用).

例 14.4   有限群 $G$ が与えられているとき、 $X=\{G$   の部分群 $\}$ への $G$ の作用が

$$g. H= g H g^{-1}$$

により決められる。 更に、正の整数 $n$ に対して、 $X_n=\{ H\in X; \vert H\vert=n\}$ とおくと、$G$ は 上記と同じ定義式により $X_n$ にも作用する。

補題 14.5   群 $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとする。このとき $G$ から $\mathfrak{S}_n$ ($n=\char93 X$ )への群準同型が $G \ni g \mapsto [ x \mapsto g.x] \in \mathfrak{S}_n$ により定まる。

命題 14.6   群 $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとする。このとき:

1. $X$ に同値関係 $\sim$ が、
   $$x_1 \sim x_2 {\Leftrightarrow}\exists g\in G$$ such that $$g. x_1=x_2$$
   で定まる。 $\sim$ に関して $x$ と同値なものの全体を、$x$ の $G$ -軌道という。
2. $x$ の $G$ -軌道は、 $G.x=\{g.x ; g\in G\}$ に等しく、 $G/G_x$ と同一視できる。ここで、 $G_x=\{g \in G; g.x=x\}$ は $x$ の固定群と呼ばれる $G$ の部分群である。
3. $\vert G\vert= \sum_{\text{orbit}} \vert G\vert/\vert G_x\vert$ .

定義 14.7   素数 $p$ が与えられているとする。 有限群 $G$ に対して、$G$ の $p$ -シロー群 $P$ とは

1. $P$ は $G$ の部分群である。
2. $P$ の位数は $p$ のべき $p^k$ である。
3. $\frac{\vert G\vert}{p^k}$ は $p$ で割り切れない。

が成り立つときにいう。

一般に、任意の有限群 $G$ と任意の素数$p$ に対して、 $G$ の $p$ -シロー群が存在する。(シローの定理) ここでは、Milne のテキスト http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html を参考にした 証明を述べる。 なお、シローの定理はさらにいくつかの結果を合わせたものを指すのが 普通であるが、それについては、群論の進んだ成書か、上記Milne のテキストを 参照のこと。

命題 14.8   有限群 $G$ の部分群 $H$ と、$G$ の $p$ -シロー群 $P$ に対して、 $G/P$ につぎのようなクラス分けを導入する。

$$[g_1]\sim [g_2] \ {\Leftrightarrow}\ \exists h \in H$$    such that $$[h.g_1 ]= [g_2].$$

このとき、

1. $[g_1]\in G/P$ と同じクラスであるような $G$ の元の個数は
   $\vert H\vert/\vert H\cap g_1 P g_1^{-1}\vert$ である。
2. $\vert G\vert/\vert P\vert = \sum_\lambda \vert H\vert/\vert H \cap g_1 P g_1^{-1}\vert$
3. とくに、$H$ にも $p$ -シロー群が存在する。

一般の群 $G$ に対してシローの定理を証明するには、 確実にシロー部分群をもつような群 $G'$ に $G$ を埋め込めば良い。 そのような群の例としては 有限体 ${\mathbb{F}}_p$ 上の一般線形群などもあるが、 それには少しだけ体論の知識を必要とする。 ここでは $G$ を $\mathfrak{S}_{p^n}$ に埋め込むことを考えよう。 $n$ を大きく取れば埋め込みを作ることは易しい。 $\mathfrak{S}_{p^n}$ の $p$ -シロー群は、つぎのように存在する。

命題 14.9  

$$A= \{ (\alpha_0,\dots, \alpha_n)\in \prod_{j=0}^n \operatorname{... ...ox{${\mathbb{Z}}$}}/pZ)^j,{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) \}$$

とおき、

$$H=\left\{ \varphi: ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{... ...1,\dots, i_{j-1}) \\ &(j=0,1,2,\dots ,n) \end{aligned}\right \}$$

と定義する。このとき:

1. $\vert H\vert \subset \mathfrak{S}( ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^n)$ .
2. $\vert H\vert =\char93 A=p^{1+p+p^2+\dots p^{n-1}}$ .

系 14.10   $H$ は $\mathfrak{S}({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ の $p$ -シロー群である。