代数学 IA No.11要約

群の準同型定理

定理 11.1 (群の準同型定理)   群 $G$ から別の群 $H$ への準同型写像 $\varphi:G\to H$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。

1. $\varphi$ の像 $\operatorname{Image}\varphi$ は $H$ の部分群である。
2. $\varphi$ の核 $N=\operatorname{Ker}\varphi$ は $G$ の正規部分群である。
3. 剰余群 $G/N$ は $\operatorname{Image}\varphi$ と同型である。

証明の肝:

Step1. $\varphi$ によるクラス分けは、 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ によるクラス分けと一致する。

Step2. $G/\operatorname{Ker}(\varphi)$ の群の構造は $\operatorname{Image}(\varphi)$ の群の構造と 一致する。

例 11.2  

位数 $2n$ の二面体群 $\Bbb D_n=\langle a,b;\ a^n=e, \ b^2=e, \ ab=ba^{-1} \rangle$ から $(\{\pm 1\},\times )$ への写像 $f$ を、

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定めると、これは全射準同型写像になり、$f$ の核は $\langle a \rangle =\{a^k;k=0,1,\dots,n-1\}$ に 一致する。ゆえに、 $\langle a \rangle$ は $\Bbb D_{n}$ の正規部分群であり、

$$\Bbb D_n /\langle a \rangle \cong \{\pm 1\}$$

が成立することがわかる。

問題

(I).

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x]_{15})=[ x]_{5}$ で与えたとき、これがうまく定義されていることを示しなさい。
2. $f$ が群の準同型であることもを示しなさい。
3. $f$ の対応表を書いて $f$ によるクラス分けが $\operatorname{Ker}(f)$ によるクラス分けに一致することを 確かめなさい。