1=4

代数学 IA No.4要約

《 ${\mathbb{C}}^\times$ の有限部分群》

始める前に、次のことは既知としておく。証明等は複素解析の講義を参照のこと。

1. 複素数 $z$ に対して、 $\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}{z^k}$ と置くと、これは収束する。これを $z$ のexponential とよぶ。
2. $r\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ なら、 $\exp(r)=e^r$ (通常の指数関数。) このため一般の $z\in {\mathbb{C}}$ に対しても、$\exp(z)$ のことを $e^z$ と表記することがある。
3. $\forall z,w \in {\mathbb{C}}$ に対して、 $\exp(z)\exp(w)=\exp(z+w)$ .
4. $b\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、 $\exp(b\sqrt{-1} )=\cos(b)+ \sqrt{-1} \sin(b)$ .

命題 4.1   正の整数 $n$ を一つ固定し、 $\zeta_n=\exp(\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{n})$ とおく。すると、

1. $\zeta_n$ の(乗法群 ${\mathbb{C}}^\times$ の元としての)位数は $n$ である。
2. $\zeta_n$ の生成する ${\mathbb{C}}^\times$ の部分群は
   $$\langle \zeta_n \rangle = \{\zeta_n^k; k=0,1,2,\dots, n-1 \}$$
   である。この群を $\mu_n({\mathbb{C}})$ と書く。
3. $\zeta_n^k=\zeta_n^l$ ${\Leftrightarrow}$ $k-l \in n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

注意 4.2   幾何学的には、次のような意味がある。

1. $\mu_n({\mathbb{C}})$ の元を複素平面上にプロットするとちょうど正 $n$ 角形の 頂点に並ぶ。
2. $\mu_n({\mathbb{C}})$ は ${\mathbb{C}}$ や ${\mathbb{C}}^\times$ の「回転」を表す群である。

一般にべき乗して $1$ と等しくなるような元を、「$1$ のべき根」とよぶ。 言い換えれば、$1$ のべき根とは、 $\cup_{n=1}^\infty \mu_n({\mathbb{C}})$ の 元のことである。

定義 4.3   元の数が有限であるような群を、有限群と言う。 有限群 $G$ の元の個数を、$G$ の位数と言い、$\vert G\vert$ とか ${\operatorname{ord}}(G)$ で表す。

定義 4.4   位数 $n$ の巡回群は、本質的にはひとつしかない。この群を $C_n$ と書く。

$C_n$ は群としては $\mu_n({\mathbb{C}})$ と同じものであるが、 $\mu_n({\mathbb{C}})$ は ${\mathbb{C}}$ の部分集合であるのに対して。$C_n$ はそうだとは考えていない、 ただの抽象的な群であるというところが異なる。

$C_n$ を書き表し方はいろいろあるのだが、ここでは、「生成元と関係式」 を書く次の表記を採用する。

$$C_n=\langle a ; a^n=e \rangle.$$

群の元 $x$ の位数とは、$x^k=e$ を満たす正の整数 $k$ のうち 最小のものであったことを思い出そう。元の位数と群の位数とには 明快な関係がある。詳しくは次回。

例題 4.5   位数 $12$ の巡回群 $C_{12}=\langle a ; a^{12}=e\rangle$ の元をすべて書き、その位数を表にせよ。

答:

元	$e$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$a^8$	$a^9$	$a^{10}$	$a^{11}$
位数	$1$	$12$	$6$	$4$	$3$	$12$	$2$	$12$	$3$	$4$	$6$	$12$