理工系線形代数学 No.9要約

今日のテーマ: ベクトル

実数直線も、 $W_0=\left\{ t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}; t\in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$ も、「同じ形」をしている。 このような２つを同時に扱うのには、成分を見るのではなく、 和と、スカラー倍という道具のみを用いて記述することが 大事になる。例えば、成分がすべて 0 のベクトル (0 ベクトル) は $\mathbf v + \mathbf v =\mathbf v$ の解と見ることもできる。

定義 9.1   $V$ が $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間であるとは、 つぎの性質を満たしているときにいう。

O.

(演算の存在) $V$ には、和と、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の元による定数倍が定義されている。

O.

1. $\forall \mathbf x, \forall \mathbf y, \forall \mathbf z \in V$ にたいし、 $(\mathbf x + \mathbf y)+\mathbf z= \mathbf x+(\mathbf y+\mathbf z)$ .
2. $\exists \mathbf 0 \in V$ があって、 $\forall x \in V$ にたいし、 $\mathbf x+\mathbf 0=\mathbf x, \quad \mathbf 0+\mathbf x=\mathbf 0$ がなりたつ。
3. $\forall \mathbf x \in V$ に対して、 $\exists \mathbf y\in V$ が存在して、 $\mathbf x+\mathbf y=\mathbf 0,\quad \mathbf y+\mathbf x=\mathbf 0$ が成り立つ。
4. $\forall \mathbf x,\mathbf y\in V$ にたいして $\mathbf x+\mathbf y=\mathbf y+\mathbf x$ が成り立つ.

O.

1. $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall \mathbf x \in V$ $(c_1 c_2)\mathbf x = c_1.(c_2.\mathbf x)$ .
2. $\forall \mathbf x \in V$ $1.\mathbf x=\mathbf x$ .

O.

1. $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall \mathbf x \in V$ $(c_1+c_2) \mathbf x=c_1 \mathbf x +c_2\mathbf x$
2. $\forall c \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$, \forall \mathbf x,\mathbf y\in V$ $c(\mathbf x+\mathbf y) =c \mathbf x + c\mathbf y$ .

定義 9.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間 $V$ があるとする。 $V$ の2つの元 $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ に対して、 内積と呼ばれる実数 $\mathbf v_1\cdot \mathbf v_2$ が定義されて、次の性質をみたすとき、$V$ のことを計量ベクトル空間と呼ぶ。

1. 多重線形性: $(c_1\mathbf v_1 +c_2 \mathbf v_2)\cdot \mathbf w =c_1 (\mathbf v_1\cdot \mathbf w) +c_2 (\mathbf v_2\cdot \mathbf w)$ ( $\forall c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$, \forall \mathbf v_1, \mathbf v_2, \mathbf w\in V)$
2. 対称性: $\mathbf v\cdot \mathbf w= \mathbf w \cdot \mathbf v$ . ( $\forall \mathbf v,\mathbf w \in V$ )
3. 正定値性: $\mathbf v\cdot \mathbf v\geq 0$ ( $\forall \mathbf v \in V$ ). 等号は $\mathbf v=\mathbf 0$ のときのみ。

計量ベクトル空間の元 $\mathbf u$ にたいして、 $\sqrt{\mathbf u\cdot \mathbf u}$ のことを $\mathbf u$ の長さといい、 $\vert\mathbf u\vert$ とかく。

補題 9.3   計量ベクトル空間の元 $\mathbf u,\mathbf v$ に対して、次が成り立つ。

1. $\vert\mathbf u+\mathbf v\vert \leq \vert\mathbf u\vert+\vert\mathbf v\vert$ .
2. $\vert(\mathbf u\cdot \mathbf v)\vert \leq \vert\mathbf u\vert \vert\mathbf v\vert$ . とくに $\cos(\theta)= \dfrac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{\vert\mathbf u \vert\vert\mathbf v\vert}$ なる $\theta$ が存在する。これを $\mathbf u$ と $\mathbf v$ のなす角と呼ぶ。

定義 9.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間が $2$ 次元であるとは、 $V$ に２つの元 $\mathbf u,\mathbf v$ が存在して、次の性質を持つときにいう。

1. $V$ のどの元も $\mathbf u,\mathbf v$ の線型結合で書ける。
2. $\mathbf u \neq \mathbf 0$ .
3. $\mathbf v= c \mathbf u$ を満たすような実数 $c$ は存在しない。

(このとき $\mathbf u,\mathbf v$ は $V$ の基底であるという。)

上の(2),(3) は 「 $c_1 \mathbf u + c_2 \mathbf v=\mathbf 0$ を満たす実数の組 $(c_1,c_2)$ は $(0,0)$ 以外には存在しない」というのと同じである。 この条件が満足されるとき、「 $\mathbf u,\mathbf v$ は一次独立である」という。

補題 9.5   二次元計量ベクトル空間 $V$ については、次のような基底が存在する。 (正規直交基底)

$$\vert\mathbf u \vert= 1,\quad \vert\mathbf v\vert=1, \quad \mathbf u \cdot \mathbf v=0.$$