微分積分学基礎 No.13要約

今日のテーマ:積分記号下の極限,微分

次の定理はルベーグ積分で語られるべきだが、ここで結果だけ引用する。 ルベーグ積分を本格的に学ぶ時間がない場合には、覚えておいても良いと思う。

定理 13.1 (優収束定理)   $I=[a,b]$ 上の関数 $\{f_n\}$ と $f$ があって、 $f_n(x) \to f(x)$ (各点収束) であるとする。 いま、$I$ 上の正値関数 $g$ が

$$\int g <\infty$$

を満たして、 $I$ の各点で $\vert f_n (x)\vert \leq g(x)$ であったとするならば、

$$\int_I f_n \to \int_I f.$$

この定理自体は、$I$ が無限区間でも成り立つ。

優関数の存在が大事であって、それなしではうまく行かない。