代数学演習 I 問題 No.5

問題 5.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/23{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の各元 $x$ に対して、その逆元を書きなさい。

問題 5.2 (各1)   $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/112233{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、

1. $R$ の元 $2$ の逆元を求めなさい。
2. $R$ の元 $5$ の逆元を求めなさい。
3. $R$ の元 $756$ の逆元を求めなさい。
4. $R$ の元 $4117$ は逆元を持つだろうか?

環 $R$ に対して、その元を成分にもつ行列を考えることができ、 通常の意味の和、差、積が(サイズがあっているという条件のもとで) 定義されて、一年生で習う線形代数のかなりの部分がそのまま 正しい。(割り算を伴う場合については注意が必要。)

$$M_n(R)=\{$$$R$ の元を成分にもつ $n×n$ 行列$$\}$$

とおくと、これは(可換ではない)環である。 その単位元は $1_n$ ($n$ 次の単位行列)である。

問題 5.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を成分にもつ行列の積

$$\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6\\ 7& 8 & 0\\ \end{pmatrix}$$

を計算し、できるだけ簡単な形、すなわち各成分の絶対値が 14以下の整数によって表されている形になるように直しなさい。

問題 5.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/14{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/16{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.7   可換環 $R$ の元を成分にする $m,n$ 行列 $A$ と $n,m$ 行列 $B$ とにたいして、

$$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$

が成り立つことを証明しなさい。

問題 5.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列は存在するだろうか。 行列式の乗法性

$$\operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y)=\operatorname{det}(X Y)$$

に基づいて答えなさい。

問題 5.9   どんな整数 $n$ に対しても、

$$AB-BA=1_n$$

をみたす行列 $A,B \in M_n({\mathbb{C}})$ は存在しないことを示しなさい。 (ヒント:トレース)

問題 5.10   素数 $p$ について、 $A,B\in M_p({\mathbb{F}}_p)$ で、

$$AB-BA=1_p$$

を満たすものの例を挙げなさい。 (かなり難問である。$p=3,5$ のときにまず試してみると良いかも知れない。)

問題 5.11   体 $K$ と素数 $q$ 、正の整数 $l$ が与えられているとする。このとき、 群 $K^\times$ の元 $x$ の、$K^\times$ の元としての位数(=乗法的位数) が $q^l$ の約数であるような元の全体は巡回群をなすことを 示しなさい。

問題 5.12   有限体 $K$ 上の行列 $A \in M_n(K)$ が、$M_n(K)$ の中で可逆なら、 ある正の整数 $m$ について

$$A^m=1_n \quad($$サイズ $n$ の単位行列$$)$$

が成り立つことを証明しなさい。