代数学演習 IB 問題 No.3

定義 3.1   環 $R$ の部分集合が $R$ のイデアルであるとは、

1. $I$ は $(R,+)$ の部分加群である。
2. $r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$

の二条件が成り立つときに言います。

問題 3.1   環 $R$ の部分集合 $\{0\}$ は $R$ のイデアルであることを示しなさい。(通常 $\{0\}$ を単に 0 であらわします。)

問題 3.2 (各1)   次の各 $R,I$ の組合せにおいて、「$I$ は環 $R$ のイデアルである」 といえるだろうか？理由をあげて答えなさい。

1. $R=\mathbb{N}$ , $I=0$ .
2. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
3. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $I=\mathbb{N}$ .
4. $R=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
5. $R={\mathbb{C}}$ , $I=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
6. $R={\mathbb{C}}[X]$ , $I={\mathbb{C}}$ .
7. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $I=$ (素数の全体).

定義 3.2   環 $R$ の部分集合 $A,B$ にたいして、

1. $A+B= \{a+b; a\in A, b\in B\}$ .
2. $A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ .

と定義します。他に紛れがない時には、 $A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ のことを 単に $A B$ とも書きます。

問題 3.3   $I,J$ が環 $R$ のイデアルならば、$I\cap J$ も $R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.4   $I,J$ が環 $R$ のイデアルならば、$I\cup J$ も $R$ のイデアルであると いえるだろうか。

問題 3.5   $I,J$ が環 $R$ のイデアルならば、

$$I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\}$$

も $R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の部分集合

$$I=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; \text{$f$ の定数項は $2$ の倍数}\}$$

は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ のイデアルだろうか？

問題 3.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の部分集合 $S$ であって、和、積について閉じているにも関わらず、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ のイデアルでないものの例を挙げなさい。

問題 3.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の部分集合

$$J=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; f(0)\in 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\text{ and } f'(0)\in 3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ のイデアルだろうか？

問題 3.9   $I,J$ が可換環 $R$ のイデアルであるにもかかわらず

$$I\underset{\text{(set)}}{\cdot} J=\{ a b; a \in I, b \in J \}$$

($I$ と $J$ の $R$ の部分集合としての積)が $R$ のイデアルにならないような例を具体的にあげなさい。

問題 3.10   $I,J$ が可換環 $R$ のイデアルならば、

$$IJ=\{\sum_i a_ib_i ($$有限和$$); a_i\in I, b_i \in J \}$$   (注意)

も $R$ のイデアルとなることを示しなさい。($IJ$ のことを $I$ と $J$ の イデアルとしての積と呼ぶ。

問題 3.11   可換環 $R$ の巾零元全体

$$P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\}$$

は $R$ のイデアルとなることを示しなさい。

定義 3.3   単位元を持つ可換環 $R$ 上の一変数多項式とは、

$$a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad (a_n,\dots,a_0 \in R)$$

のように表されるもののことです。$R$ 上の一変数多項式の全体は環をなします。 これを $R$ 上の一変数多項式環と言って、$R[X]$ であらわします。 以下面倒なので《一変数多項式》が出てくる問題では、 $R$ は単位元を持つ可換環であると仮定していることにします。

問題 3.12 (単位元を持つ可換)   環 $R$ 上の一変数多項式 $f(X)$ と $R$ の元 $a$ について、$f(a)=0$ ならば、

$$f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X]$$

とあらわせることを示しなさい。

定義 3.4   環 $R$ の元 $a$ は、

$$ab=0$$

なる $b(\neq 0)\in R$ が存在するとき、左零因子と呼ばれます。 右零因子も同様に定義されます。 可換環では、左右の区別がいらないので、単に零因子と呼びます。 零因子が 0 しかない可換環を整域と呼びます。

問題 3.13   整域 $R$ 上の 一変数多項式 $f(X)$ は、$R$ に高々 $d$ 個しか根を持たないことを示しなさい。

問題 3.14   可換環 $R$ 上の一変数多項式 $f(X)$ の係数のうちに非零因子があれば、$f(X)$ は $R[X]$ の非零因子となることを示しなさい。

問題 3.15   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の二変数多項式環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]$ のイデアル $I$ が $X+Y(X+1),Y,X^2$ を元として含む時、$I$ は $X,Y$ も元として含むことを 示しなさい。

問題 3.16 (各1)   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の二変数多項式環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]$ のイデアル $J$ が $X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5$ を元として含む時、

1. $J$ は $X+Y,Y^2-Y$ を元として含むことを示しなさい。
2. $X+Y,Y^2-Y$ を元として含むような $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]$ のイデアルは 必ず $J$ を部分集合として含むことを示しなさい。

定義 3.5   $R$ を環、$I$ をそのイデアル、$S$ を $R$ の部分集合とします。$I$ が $S$ で(イデアルとして)生成されるとは、次の二条件を満たすときに言います。

1. $I$ は $S$ を部分集合として含む。
2. $I$ は、$S$ を部分集合として含むイデアルの中で最小のものである。すなわち、 $S$ を含む $R$ の任意のイデアル $J$ に対し、 $I\subset J$ が成り立つ。

$S$ が有限集合 $S=\{x_1,\dots,x_n\}$ のとき、$S$ で生成されるイデアルを普通 $(x_1,\dots,x_n)$ と丸括弧を用いて書きます。

例題 3.1   $\{9,12\}$ で生成される ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $I=(9,12)$ を求めよ。

解答 $I$ は引き算について閉じているから、

$$I\ni 12-9=3.$$

さらに、$I$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ による掛け算により閉じているから、

$$3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset I.$$

ところが、 $3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は $\{9,12\}$ を含む ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルであるから、$I$ の最小性により、

$$I \subset 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

以上により、 $I=3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が分かった。($I=(3)$ と書いても良い。次の問題も参照)

問題 3.17 (各1)   $R$ を環、$S$ をその部分集合とします。この時 $S$ で生成される $R$ のイデアル $I$ がただひとつ存在することを次の順序で示しなさい。

1. (一意性) $I,J$ がともに $S$ で生成される $R$ のイデアル(すなわち定義3.5 の(1),(2)を満たす)ならば、$I,J$ 両方の最小性を用いて、$I=J$ が分かる。
2. (存在 I) $S$ を含む $R$ のイデアルは一つは必ず存在することを示しなさい。
3. (存在 II) $S$ を含む $R$ のイデアルの全体を $\{I_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ とすると、それらすべての共通部分
   $$I_0=\cap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda$$
   も $R$ のイデアルで、かつ $S$ を含むことを示しなさい。
4. (存在 III) 上の $I_0$ が $S$ を含む最小のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.18 (各1)   次の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルを簡単な形になおしなさい。

1. $I_1=(4,6)$
2. $I_2=(12,18,30)$
3. $I_3=(78,54,62)$

問題 3.19 (各1)   次の ${\mathbb{C}}[X]$ のイデアルを簡単な形になおしなさい。

1. $I_1=(X^3,X^2)$
2. $I_2=(X^3-1, X^2-1)$
3. $I_3=(X(X-1),(X+1)(X-1),X(X+1))$