代数学演習 IB 問題 No.2

注意これからは、とくにことわらない限り、単位元をもつ環のみを扱う。「環」といえば、単位元を持つ環と解釈していただきたい。(単位元の存在がとくに重要な時には、一応ことわる。)ただし、積が可換であるとはまだ仮定しない。

問題 2.1 単位元

を持つ環

の元

にたいして、

	$\displaystyle xy=1$ (すなわちはの右逆元である。)
	$\displaystyle zx=1$ (すなわちはの左逆元である。)

が成り立つとき、

であって、

$\displaystyle xy=yx=1$ (すなわち $y(=z)$ は $x$ の逆元である)

が成り立つことを示しなさい。

定義 2.2 (部分環の定義)

が単位元をもつ環であるとする。

の部分集合

が

の部分環であるとは、

が次の条件を満たす時にいう。

はの足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
はの単位元を元として持つ。

問題 2.2 (各1) 次のものは複素数全体のなす環 ${\mathbb{C}}$ の部分環であるか、理由をつけて答えなさい。

以外の整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\setminus\{5\}$ .
$% latex2html id marker 1307 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+2 \sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+2 \sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$ .
$% latex2html id marker 1309 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\frac{1}{2} \sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\frac{1}{2} \sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$ .
$% latex2html id marker 1311 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ .
$% latex2html id marker 1313 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ .

問題 2.3 ${\mathbb{C}}$ の部分環

が、 $% latex2html id marker 1324 $ 1,\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ を元として持っているとします。この時、 $% latex2html id marker 1326 $ 2\sqrt{15},4\sqrt{3},4\sqrt{5}$$ も

の元であることを示しなさい。

問題 2.4 有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

(つまり、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\subset R\subset {\mathbb{C}}$ ) が $% latex2html id marker 1344 $ \sqrt{2}+\sqrt{3}$$ を元として含むとき、 $% latex2html id marker 1346 $ \sqrt{2},\sqrt{3}$$ も

の元であることを示しなさい。

問題 2.5 有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

が $% latex2html id marker 1361 $ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ を元として含むとき、 $% latex2html id marker 1363 $ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$$ も

の元であることを示しなさい。

問題 2.6 有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

が $% latex2html id marker 1378 $ \sqrt{2}+2\sqrt{5}+3\sqrt{7}$$ を元として含むとき、 $% latex2html id marker 1380 $ \sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{7}$$ も

の元であることを示しなさい。

問題 2.7 有理数の全体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

について、次の二つの条件は同値であることを示しなさい。

$% latex2html id marker 1395 $ \sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$$ .
$% latex2html id marker 1397 $ \sqrt{3}\in R$$ かつ $% latex2html id marker 1399 $ \sqrt{7}\in R$$ .

問題 2.9 (各1)

$% latex2html id marker 1415 $ S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\} $$ は ${\mathbb{C}}$ の部分環だろうか？
上のを含む、 ${\mathbb{C}}$ の部分環で、最小のもの(つまり、で生成される ${\mathbb{C}}$ の部分環)はなにか？

問題 2.10 (各1)

$% latex2html id marker 1432 $\displaystyle S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+2 \sqrt{2}... ...+2\sqrt{6} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+ (\sqrt{2}+\sqrt{3}){\mbox{${\mathbb{Z}}$}} $$

とおく。このとき、

は ${\mathbb{C}}$ の部分環であるだろうか。
$% latex2html id marker 1438 $ S \not \ni \sqrt{2}$$ をしめしなさい。
$% latex2html id marker 1440 $ \sqrt{2}+\sqrt{3} $$ を元として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環はかならずを部分集合として含むことを示しなさい。

次の問題は上級者用。従って細かい説明はしない。解こうと思うものは詳細は自分で考えること。以下、 $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ という記号を用いる。

問題 2.12 (各1) 環

が与えられているとする。

の元の列の全体

$\displaystyle S(R)=\{(a_0,a_1,a_2,\dots, a_n,\dots) ; \forall i \in \mathbb{N}a_i \in R \}$

に、成分ごとの和で和を定義し、積を

$\displaystyle (a_i)_{i\in \mathbb{N}}\cdot (b_i)_{i\in \mathbb{N}}= ( \sum_{j=0}^i a_j b_{i-j})_{i \in \mathbb{N}}$

で定義するとき、

はこの和と積について環をなすことをしめしなさい。
のののうち、有限数列であるものの (すなわち、数列であって、「 $% latex2html id marker 1480 $ \exists N \forall i >N \quad a_i=0$$ 」を満たすもの) 全体をと書くと、これはの部分環をなすことをしめしなさい。
$r\in R$ に対して、 $(r,0,0,\dots)$ をと書くことにする。 $c_R=\{c_r; r\in R\}$ はの部分環であることを示しなさい。
は、上 $X=(0,1,0,0,\dots)$ で生成されることを示しなさい。