論理と集合要約 No.13

第13回目の主題 : 「代表元のとり方によらない」

問題 13.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、

1. $\sim$ は同値関係であることを示しなさい。
2. 以下この問題では、 $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の $\sim$ に関するクラスを $[x]$ と書く。 $1$ のクラス $[1]$ に属する ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $3$ で割った余り) で定義できるだろうか。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

上の問題の(3)のような状況は、 「写像 $f$ は 代表元のとり方によらずにうまく定義される」 と呼ばれてとくに重宝される。

一般に、集合 $X$ に同値関係 $\sim$ が定義されていて、$X$ から 集合 $Y$ への写像 $f$ が、

$$\forall x \in X \forall y \in X (x \sim y \implies f(x)=f(y)$$

をみたすとき、$f(x)$ の値は $x$ のクラス $[x]$ の代表元 のとり方によらないという。 このとき、あたらしい写像 $g :X(/\sim )\ \to Y$ が

$$g([x])=f(x)$$

により定義できる。

問題 13.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、

1. $\sim$ は同値関係であることを示しなさい。
2. 以下この問題では、 $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の $\sim$ に関するクラスを $[x]$ と書く。 $3$ のクラス $[3]$ に属する ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $5$ で割った余り) で定義できるだろうか。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

つぎのことは集合の準同型定理とも呼ばれ、線形代数学、代数学などの各分野で 基本的な役割を果たす。

命題 13.1   写像 $f:X\to Y$ が与えられたとき、

1. $X$ に同値関係 $\sim_ f$ が、
   $$x_1\sim_f x_2 \ {\Leftrightarrow}\ f(x_1)=f(x_2)$$
   により定義される。
2. $\bar f:(X/\sim_f)\to Y$ が
   $$\bar{f}([x]_f )=f(x)$$
   によりうまく定義される。 ここに、$[x]_f$ は $\sim_ f$ に関する $x\in X$ のクラスである。
3. $\bar f$ は $X/\sim_f$ と $\operatorname{Image}f$ との間の全単射を与える。

4. $\pi: X \to X/\sim$ を自然な射影とするとき、 $f$ は全射と単射の合成写像として分解される。すなわち、
   $$f=\bar f \circ \pi.$$