論理と集合要約 No.10

第10回目の主題 :

一般に、写像 $f:X \to Y$ が与えられると、$X$ の元は $f$ の値によって クラス分け(分類)される。

命題 10.1   $f:X \to Y$ が与えられているとし、 $y\in Y$ に対して、 ${f}^{-1}(\{y\})$ のことを $X_{y}$ と 書くことにすると、次のことが成り立つ。

1. $X$ は $\{X_y\}_{y\in Y}$ の和集合である。
2. $y\in Y$ に対して、 ${f}^{-1}(\{y\})\neq \emptyset \ {\Leftrightarrow}\ y \in f(Y)$ .
3. $X_y \cap X_{y'}\neq \emptyset \ {\Leftrightarrow}\ (y =y'$    and $y\in f(Y))$ .

$X_y$ のなかで、空集合を省くことにより、 $X$ の下の意味でのクラス分けを作ることができる。

定義 10.2   集合 $X$ の部分集合の族 $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ が $X$ のクラス分け (分割とも言う)であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。

1. $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$$ .
2. $\lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ならば $C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

クラス分け、班分け、分類、分別、等々数学的にはほぼ同じ意味だが、ここでは主に「 クラス分け」という言葉を使う。

命題 10.3   写像 $f:X \to Y$ が与えられたとき、$f$ は $X$ のクラス分けを与える。

問題 10.1   $X=\{1,2,3,\dots,31\}$ , $Y=\{0,1,2,\dots,6\}$ , $f:X \to Y$ を

$f(x)=$ ($x$ を$7$ で割った余り)で定義する。

1. $f$ は全射だろうか。単射だろうか。
2. $X$ の $f$ に関するクラス分けの表を書きなさい。

問題 10.2   $f: X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$=Y$ に対して、$f$ によるクラス分けを 考える。

1. $(1,0)$ と $(1,5)$ とは同じクラスに入ることを示しなさい。
2. $(1,0)$ と $(2,5)$ とは同じクラスでないことを示しなさい。
3. $(1,0)$ と同じクラスになるような $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ をすべて求めなさい。
4. $X_0,X_2,X_{-1}$ を求めなさい。

問題 10.3   $X=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2\leq 10^2\}$ , $Y=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ とおく。 $f: X \ni (x,y) \mapsto x \in Y$ に対して、$f$ によるクラス分けを 考える。

1. $f$ は全射だろうか。単射だろうか。
2. $(1,0)$ と $(1,5)$ とは同じクラスに入ることを示しなさい。
3. $(1,0)$ と $(2,5)$ とは同じクラスでないことを示しなさい。
4. $(1,0)$ と同じクラスになるような $(a,b)\in X$ をすべて求めなさい。
5. $X_0,X_2,X_{-1}$ を図示しなさい。
6. $X_{20}$ を求めなさい。

問題 10.4   $f: X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x^2+y^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$=Y$ に対して、

1. $(1,0)$ と $(0,-1)$ とは同じクラスであることを示しなさい。
2. $(1,0)$ と $(2,5)$ とは違うクラスであることを示しなさい。
3. $(1,0)$ と同じクラスになるような $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ をすべて求め、 図示しなさい。
4. $X_2,X_0$ を求めなさい。