論理と集合要約 No.2

第2回目の主題 :

◎ 論理(続き)

論理においては、命題が大事であって、それらは基本的な命題 から, and, or, not, $\forall$ , $\exists$ を用いて作れるのでした。 $\forall x P(x)$ は、「どんな $x$ にたいしても $P(x)$ が成立する。」ということ、 $\exists x P(x)$ は、「ある $x$ にたいして $P(x)$ が成立する。」 (どれかひとつの $x$ について $P(x)$ が成立する。) という意味でした。

&dotfill#dotfill;

問題 2.1   「$x> 3$ ならば $x >2$ 」 は正しいだろうか。 (論理の講義らしくもっと精密に書くなら: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x >3 \implies x>2)$ だろうか?)

「$P$ ならば $Q$ 」は、$P$ が成り立つときには、$Q$ が成り立つことを 主張している。では $P$ が成り立たないときにはどうだろうか。 日常生活では場合に応じて次の二つの意味に用いている。

1. $P$ でないときは関知しない。($P$ が真でも、偽でもどちらでもよい。)
2. $P$ でないときは $Q$ でない(と言外に言っている)。

曖昧さを避けるため、数学では「ならば」($\implies$ ) を前者の意味でのみ用いる。

「$P$ または $Q$ 」( $P$ or $Q$ )についても これは $P$ と $Q$ のどちらかが正しいという主張であるが、 日常生活では場合に応じて次の二つの意味に用いている。

1. $P$ と $Q$ の両方が正しいことも許す。
2. $P$ と $Q$ の両方が正しいのは(言外に)許さない。

曖昧さを避けるため、数学では「または」(or)を前者の意味でのみ用いる。

極論すれば、 論理とは、ある仮定 $P$ をおいたときに、正しい推論規則を用いて 結論 $Q$ を導き出すことにより、 $P \implies Q$ を証明することに他ならない。

$P$ と $Q$ の真理値がいつでも一致するとき、 $P$ と $Q$ とは 同値であるといい、 $P{\Leftrightarrow}Q$ と書く。 これは 「( $P \implies Q$ ) かつ ( $Q\implies P$ )」 と同じことである。

問題 2.2   $P{\Leftrightarrow}Q$ と $(P \implies Q)$    and $(Q \implies P)$ の真理値が 一致することを、真理表を用いて示しなさい。

日常用いているいくつかの基本的な推論規則も、真理表を用いて直ちに 導きだすことができる。例えば次のような具合である。

問題 2.3   命題 $P,Q$ について、 $(P$    and $Q) \implies P$ および $P \implies (P$    or $Q)$ が成立することを、真理表を用いて示しなさい。

定義 2.1   集合とは、 それに属するか否かがはっきり決まっているような 「モノ」のあつまりである。 (誰が見てもはっきりとどちらかに分かれていて、 しかも意見が食い違わないということが大事である。)

上の定義もまたもや多少間に合わせ的である。もっと現代的には、 いくつかの基本的な集合の存在をあらかじめ公理として定め、それらから いくつかの手続き によって作られた物のみ を集合と呼ぶ。

集合 $M$ にたいして、$x$ が $M$ に属するとき、$x$ は $M$ の元(要素) であるといい、 $x\in M$ とか、 $M \ni x$ と 書き、そうでないとき $x\notin M$ とか $M \not \ni x$ と書く。

あとの、「部分集合として含まれる」との区別を強調するため、 $x\in M$ のことを 「 $x$ は $M$ に元として含まれる。」という読み方をすることもある。

集合は、中カッコの中に集めるものを言葉で、あるいはリストアップして 書きだすことにより表現できる。下の例を見よ。

例 2.2 (数学でよく使う集合の例)  

1. 整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots \}$ .
2. 正の整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}=\{1,2,3,4,5,\dots \}$ .
3. 有理数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$=\{\dfrac{x}{y} \vert x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, y\neq 0\}$ .
4. 実数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
5. 複素数全体の集合 ${\mathbb{C}}$ .

例えば上の(3)のように、$x,y$ の式 $f(x,y)$ と、 $x,y$ を 変数とする命題 $P(x)$ にたいして、

$$\{f(x,y) \vert\ P(x,y)\}$$

なる集合を考えることができる。これは $P(x,y)$ が真であるような $x,y$ すべての 組について、 $f(x,y)$ を集めてきた集合の意味である。 (タテボウ $\vert$ のところをセミコロン $;$ にする書き方もある。)

微分積分学で使う「区間」についても書いておこう。

定義 2.3   実数 $a,b$ ($a<b$ ) について、次のように定義する。

$$[a,b]=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert\ a\leq x \leq b\}$$

$$(a,b]=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert\ a< x \leq b\}$$

$$[a,b)=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert\ a \leq x < b\}$$

$$(a,b)=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert\ a< x < b\}$$

二つの集合 $A,B$ が等しいことを示すには、 「$x\in A$ 」 と 「$x\in B$ 」 とが同値であることを証明するのが常道である。

問題 2.4  

$$\{x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; x^2 <4\} = (-2,2)$$

を示しなさい。

定義 2.4   集合 $A,B$ が

$$x \in A \implies x \in B$$

をみたすとき、$A$ は $B$ の部分集合である(もしくは、 $A$ は $B$ に部分集合として含まれる)といい、

$$A \subset B$$

( $B \supset A$ と書くこともある) で表す。

この定義と上で述べたことを用いると、

$$A = B \ {\Leftrightarrow}\ (A \subset B$$    and $$A \supset B)$$

であることが分かる。

次の問題も部分集合の定義に戻って考えれば良い。

問題 2.5   $\{ x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x > 2\} \subset \{ x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x^7 >10\}$ を示しなさい。

定義 2.5   集合 $A,B$ にたいして、

$$A\cap B=\{ x ; x \in A$$    and $$x \in B\}$$

$$A\cup B=\{ x ; x \in A$$    or $$x \in B\}$$

をそれぞれ $A$ と $B$ の共通部分及び和集合という。

$A \cap B$ は $A$ キャップ $B$ とか、$A$ インターセクション $B$ と読む。「$A$ かつ $B$ 」 と読む人もいるが紛らわしいから やめておいたほうが良い。同様に、 $A \cup B$ は $A$ カップ $B$ とか、$A$ ユニオン $B$ と読む。

次のことは対応する論理の結果からすぐに分かる。

問題 2.6   任意の集合 $A,B$ に対して $A \cap B \subset A$ と $A \subset A \cup B$ が成り立つことを示しなさい。