代数学II要約 No.10

第10回目の主題 :

前回までに、 可換PID $A$ 上の有限生成加群は $A$ 上の巡回加群の直和で あることを示した。今回は $A$ の元の「素元分解」を用いて その構造をもう少し細かく吟味しよう。

定義 10.1   環 $A$ にたいして、

$$Z(A)= \{z \in A; z x =x z \qquad \forall x \in A\}$$

は $A$ の部分環をなす。これを $A$ の中心とよぶ。

環の直積分解においては、二つの基本的な元が重要な役割を果たす。

補題 10.2 (直積分解と中心的射影の関係)  

1. $A_1,A_2$ は単位元をもつ環であるとする。 このとき $A_1\times A_2$ の元 $e_1,e_2$ を、 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ によって定めると、$e_1,e_2$ は $A$ の中心に属し、なおかつ次のことが 成り立つ。

   $$e_1^2=e_1, e_2^2=e_2, e_1+e_2=1, e_1e_2=0$$ (*)

   
   

2. $A$ は単位元をもつ可換環であるとする。もし $A$ の中心に属する元 $e_1,e_2$ で、 $($*$)$ を満たすものが存在すれば、 $A$ は $A/(e_2) \times A/( e_1)$ と 同型になる。

上の補題により、環を直積分解したいときには、 $($*$)$ を満たす 元 $e_1,e_2$ を探せばいいことがわかる。$e_1,e_2$ のことを (直積分解に対応する)中心的射影と呼ぶ。 実際には、次の補題のように、中心的射影を一つ見つければその相棒は 自動的に見つかる。

補題 10.3   環 $A$ の中心に属する元 $e$ が、ベキ等 ($e^2=e$ ) ならば、 $e_1=e,e_2= 1-e$ は (*) をみたす。

可換 PID $A$ の元 $x$ が二つの「互いに素な」元の積であるとき、 剰余環 $A/A x$ の直積分解が次のように書ける。

命題 10.4   $A$ が可換 PID で、 $A a + A b =A$ をみたすとき (つまり $a,b$ が「互いに素」であるとき)、

1. 環としての同型
   $$A/A ab \cong (A /A a) \times (A/ A b)$$
   が存在する。
2. 上の同型はまた $A$ -加群としての同型
   $$A/A ab \cong (A /A a) \oplus (A/ A b)$$
   ともみなせる。

環としての直積 $(A/A a) \times (A/ A b)$ と $A$ -加群としての 直和 $(A/A a )\oplus (A/A b)$ とは集合としては全く同じモノである。 本講義では一応区別して書くが、教科書等では二つとも直和の記号 $\oplus$ で 書かれることも多い。

系 10.5   $m,n$ が互いに素な正の整数のとき、( ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -)加群の同型

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{$... ...mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/ n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

が存在する。

上の系と有限生成アーベル群の基本定理により次の系が成り立つことがわかる。

系 10.6   任意の有限生成アーベル群は、つぎの形のアーベル群の幾つかの直和に同型である。

1. 無限巡回群 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p^n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$         ($p$ は素数。 $n$ は正の整数。)

同様にして、次の命題が成り立つことがわかる。 (一般に、可換 PID の元に対しては素因数分解が一意的に存在する ということに注意しておく。)

命題 10.7   可換 PID $A$ に対して、有限生成アーベル $A$ 加群は、 つぎの形の $A$ -加群の幾つかの直和に同型である。

1. $A$ 自身(を $A$ 加群とみたもの。)
2. $A/p^n A$         ($p$ は $A$ の素元。 $n$ は正の整数。)

一般に、環 $A$ に中心的射影 $e$ が存在すると、$A$ 上の加群も次のような分解を受ける。

命題 10.8   環 $A$ の中心的射影 $e$ が与えられたとする。このとき、

1. $e M, (1-e) M$ は $M$ の $A$ -部分加群である。
2. $M$ は $A$ -加群として直和に分解される: $M\cong e M \oplus (1-e) M$ .

問題 10.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とは ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群として同型ではないことを 示しなさい。