代数学 IA No.14要約

群の直積 (+準同型定理の応用)

定義 14.1 (群の直積)   $(G_1,\spadesuit)$ と、 $(G_2,\heartsuit)$ とが共に群であるとする。このとき、デカルト積集合

$$G_1\times G_2 = \{(g_1,g_2);\quad g_1\in G_1, \ g_2 \in G_2\}$$

は、次のような演算 $\diamondsuit$ により群になる。

$$(a_1,a_2)\diamondsuit(b_1,b_2)=(a_1\spadesuit b_1,a_2 \heartsuit b_2)$$

$(G_1\times G_2, \diamondsuit)$ を $G_1$ と $G_2$ の(群としての)直積と呼ぶ。

例 14.2 (直積群の例)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ は 加法 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ に関して群になる。
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2=$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の加法の構造は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の加法群と $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の加法群 の直積としての構造であると考えることもできる。

定理 14.3 (有限巡回群の直積分解)   $m,n$ を互いに素な正の整数とする。このとき、同型

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

が存在する。

系 14.4   $m,n$ を互いに素な整数とすると、

$$am+bn=1$$

となる整数 $a,b$ が存在する。

この系自身もよく利用される。応用例として一つだけ挙げておく。

系 14.5 (系の系)   $m,n$ を互いに素な正の整数とする。このとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の、$\bar{n}$ で生成される 部分群は、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 自身である。

◎群と群準同型の作り方について。

1. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から 群 $H$ への群準同型を作るには、 $H$ の元 $h$ (``$1$ の行き先'')で、 $h^n=e_H$ をみたすものを作ればよい。
2. 上のことは、次のように一般化できる。 正の整数 $n$ に対して、
   1. $n$ 個の元 $x_1,x_2,\dots,x_n$ で生成される自由群 $F_n=\langle x_1,x_2,\dots, x_n\rangle$ が存在する。 $F_1$ は $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ と同型である。($1$ が $x_1$ の役割をする。)
   2. $F_n$ から他の群への群準同型を与えることは、 $x_1,\dots x_n$ の行き先 を与えることと同じである。
   3. $n$ 個の元で生成された群
      $$G =\langle g_1,g_2,\dots, g_n ;$$   (関係式)$$_1,\dots$$   (関係式)$$_m\rangle$$
      は、$F_n$ を、    (関係式)$_1,\dots$   (関係式)$_m$ (の "g" を "x" で 置き換えたもの) で生成された正規部分群 $N$ で割った剰余群と同型である。
   4. $G$ から $H$ への群準同型は、 $x_1,\dots, x_n$ の行き先 $h_1,\dots, h_n$ で、    (関係式)$_1,\dots$   (関係式)$_m$ (の "g" を "h" で 置き換えたもの)が成り立つものを与えれば良い。

問題

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は 巡回群ではないことを証明しなさい。