微分積分学概論AI要約 No.9

定義 9.1   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、$f$ が $a$ で連続であるとは、

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

がなりたつときにいう。

極限の定義により、上の定義は次のように言い換えられる。

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0 ;\ (0< \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$$

$x=a$ の場合を考慮に加えると、次のような定理がなりたつことがわかる。

定理 9.2   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、 $f$ が $a$ で連続であることは、次の条件と同値である。

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

上の定理は「定理」ではあるが、 連続性の定義における ``$x=a$ '' の「例外的な扱い」を取り除いてむしろ 自然な形をしている。そこでこの講義ではもっぱら連続性を確かめるには 上の定理のほうを用いて判定することにする。実際には、関数 $f$ が $a$ の近くで定義されているという前提条件は強すぎる。そこで 定義域についての条件をハッキリ記述して次のように定義しよう。

定義 9.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $X$ で定義された関数 $f: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が 点 $a\in X$ において連続であるとは、

(☆) $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; \forall x \in X( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

を満たすときに言う。

定理 9.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $X$ 上で定義された関数 $f,g$ と $a\in X$ にたいして、 次のことが成り立つ。

1. $f,g$ が $a$ で連続なら、その和、差、線型結合も $a$ で連続である。
2. $f$ が $a$ で連続で、 $f(a)\neq 0$ なら、 $\dfrac{1}{f(x)}$ も $a$ で連続である。

問題 9.1   正の数 $\epsilon>0$ が与えられているとする。 このとき、 次のような 正の数 $\delta$ を見つけなさい。

$$\forall b \left( \vert b-5\vert<\delt... ...text{ and } \left\vert\frac{1}{b}-\frac{1}{5} \right\vert <\epsilon ) \right)$$