微分積分学概論AI要約 No.9

定理 9.1 (再掲)   極限 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ と $\lim_{x\to x_0} g(x)$ がともに 存在すると仮定する。このとき、次のことが成り立つ。

1. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) \pm g(x)) =\lim_{x\to x_0} f(x) \pm \lim_{x\to x_0} g(x).$$
2. $$\lim_{x\to x_0} c f(x)= c \lim_{x\to x_0} f(x)$$ .
3. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) g(x)) =\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right) \left( \lim_{x\to x_0} g(x) \right).$$
4. さらに、 $\lim_{x\to x_0} f(x) \neq 0$ と仮定すると、
   $$\lim_{x\to x_0} (g(x)/ f(x)) =\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right)/ \left( \lim_{x\to x_0} f(x) \right).$$

定義 9.2   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、$f$ が $a$ で連続であるとは、

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

がなりたつときにいう。

極限の定義により、上の定義は次のように言い換えられる。

$$\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0 ;\ (0< \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$$

$x=a$ の場合を考慮に加えると、次のような定理がなりたつことがわかる。

定理 9.3   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、 $f$ が $a$ で連続であることは、次の条件と同値である。

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

上の定理は「定理」ではあるが、 連続性の定義における ``$x=a$ '' の「例外的な扱い」を取り除いてむしろ 自然な形をしている。そこでこの講義ではもっぱら連続性を確かめるには 上の定理のほうを用いて判定することにする。実際には、関数 $f$ が $a$ の近くで定義されているという前提条件は強すぎる。そこで 定義域についての条件をハッキリ記述して次のように定義しよう。

定義 9.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $X$ で定義された関数 $f: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が 点 $a\in X$ において連続であるとは、

(☆) $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; \forall x \in X( \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

を満たすときに言う。

$X$ を明示することにより、$x$ の動く範囲に関する制限が明確になる。 とくに $X$ が $[a,a+\epsilon)$ のときを考えれば「右連続性」 が自然に解釈できる。

問題 9.1   正の数 $\epsilon>0$ が与えられているとする。 このとき、 次のような 正の数 $\delta$ を見つけなさい。

$$\forall b \left( \vert b-5\vert<\delt... ...text{ and } \left\vert\frac{1}{b}-\frac{1}{5} \right\vert <\epsilon ) \right)$$