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論理と集合要約 No.14
第14回目の主題 :
定義 14.1
集合
の部分集合の族
が
の
クラス分け
(
分割
とも言う)であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。
.
,
ならば
.
定義 14.2
の2つの元
にたいして、
か、そうでない(
) か がきちんと定まっていて、次の性質を持つとき、
のことを
上の
同値関係
という。
(「
and
」
).
(
).
(
).
命題 14.3
に同値関係
が定まっているとする。このとき、
か否かによって、
と
が同じクラスか否かを 定めることで
のクラス分けが定義される。
◎写像になる、ならない
問題 14.1
(三角形全体の集合) とする。
から
への写像
を、
($&Delta#Delta;$ の一つの辺の長さ) で決めようと思う。
は 写像だろうか。
から
への写像
を、
($&Delta#Delta;$ の最短の辺の長さ) で決めようと思う。
は 写像だろうか。
から
への写像
を、
($&Delta#Delta;$ の三辺の長さ) で決めようと思う。
は
から
への写像
を、
($&Delta#Delta;$ の三辺の長さを短い順に並べたもの) で 決めようと思う。
は写像だろうか。
問題 14.2
正方形全体の集合 を
とおく。このとき、
から
への 写像を、
($x$ の1辺の長さ) で定義できるだろうか。
長方形全体の集合 を
とおく。このとき、
から
への 写像
を、
($x$ の1辺の長さ) で定義できるだろうか。
前問と同じ
について、
から
への写像
を
($x$ の周の長さ) で定義できるだろうか。
問題 14.3
における二項関係を
で定義する。 このとき、
は同値関係であることを示しなさい。
以下この問題では、
の
に関するクラスを
と書く。
のクラス
に属する
の元をすべて答えなさい。
から
への写像
を、
($x$ を $3$ で割った余り) で定義できるだろうか。
から
への写像
を、
($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。
問題 14.4
における二項関係を
で定義する。 このとき、
は同値関係であることを示しなさい。
以下この問題では、
の
に関するクラスを
と書く。
のクラス
に属する
の元をすべて答えなさい。
から
への写像
を、
($x$ を $5$ で割った余り) で定義できるだろうか。
から
への写像
を、
($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。
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2013-07-17