論理と集合要約 No.13

写像 $f$ があると定義域の集合は $f$ の 値によってクラス分けされるのでした。

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第13回目の主題 :

集合 $X$ をクラス分けする際、「クラス分けの表」を書くのは面倒である。 ほかの有力な手段として、「同値関係」を導入する方法がある。

問題 13.1   $X=\{1,2,3,\dots,31\}$ , $Y=\{0,1,2,\dots,6\}$ , $f: X \to Y$ を

$f(x)=$ ($x$ を$7$ で割った余り)で定義するとき、

1. $X$ の $f$ に関するクラス分けの表を書きなさい。
2. $1$ と同じクラスになる $X$ の元をすべて書きなさい。
3. $2$ と同じクラスになる $X$ の元をすべて書きなさい。

一般に、集合 $X$ にクラス分けが定まっているとき、$x\in X$ と 同じクラスの元全体の集合を $[x]$ とか $\bar{x}$ と書く。 (クラス分けがいろいろ出てきて区別が必要なときには、その都度 $[x]_1$ とか 添字をつけて区別するのが良かろう) 字面だけみると、面白いことが起こる。 例えば、上の例では

$$[1]=[8] (=[15])$$

等々。

クラスは、元来は集合であるが、これを一つの元と改めて思い直すことにより、 $X$ のクラス全体の集合を考えることができる。これを $X$ のこのクラス分けに関する商集合といい、 $X/($クラス分け$)$ と書く。 上の例では、

$$X/($$クラス分け$$)=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]\}.$$

問題 13.2   有限集合 $X=\{1,2,3,\dots, 15\}$ をいくつかの黒い線分で結ぶ。 (講義中に描く。) このとき、$X$ の点を 「黒い線づたいにつなげるか否か」で クラス分けすることができる。 このクラス分けの表を書き、 $X/$(クラス分け) の 元の個数を書きなさい。

上の問題のように、「同じクラスか否か」のほうが先に分かっていれば、 それをもとにクラス分けができる。これが同値関係の考え方である。

問題 13.3   $X=\{-10,-9,-8,\dots, 8,9,10\}$ (絶対値が $10$ 以下の整数)とする。このとき、

1. $\vert x\vert=\vert y\vert$ のとき(のみ) $x$ と $y$ が同じクラス、と決めることにより、 $X$ をクラス分けしその表を書け。
2. $x-y$ が $3$ の倍数のとき(のみ) $x$ と $y$ が同じクラス、 と決めることにより、 $X$ をクラス分けしその表を書け。
3. $x-y$ が $5$ の倍数のとき(のみ) $x$ と $y$ が同じクラス、 と決めることにより、 $X$ をクラス分けしその表を書け。
4. $x\geq y$ のとき(のみ) $x$ と $y$ が同じクラス、 と決めることにより、 $X$ をクラス分けできるだろうか。

5. $xy\geq 0$ のとき(のみ) $x$ と $y$ が同じクラス、 と決めることにより、 $X$ をクラス分けできるだろうか。
6. $xy>0$ のとき(のみ) $x$ と $y$ が同じクラス、 と決めることにより、 $X$ をクラス分けできるだろうか。

上で、$x$ と $y$ が同じクラス、といちいち書くのは面倒である。そこで、 $x \sim y$ や $x\equiv y$ のような記号を用いて書くことが多い。 いずれにしても、勝手な規則で 「同じクラス」を定めようとしても、 うまく行かない。

うまく行くために必要な事柄を集めたのが、同値関係である。

定義 13.1   $\sim$ が集合 $X$ の同値関係であるとは、次のことを満たすときにいう。

1. 任意の $a,b\in X$ に対して、$a\sim b$ か、そうでないかがはっきりと決まって いる。
2. (推移律) $a,b,c\in X$ が、 $a \sim b , b\sim c$ を満たせば、 $a \sim c$ も成り立って いる。
3. (反射律) 任意の $a\in X$ に対して、$a\sim a$ が成り立っている。
4. (対称律) $a,b\in X$ が、$a\sim b$ を満たせば、$b\sim a$ も成り立っている。