代数学II要約 No.3

第3回目の主題 :

補題 3.1   環 $R$ と $R$ -加群 $M$ が与えられているとする。$M$ の 部分集合 $S$ に対して、次のことは同値である。

1. $S$ を含む $M$ の部分加群は $M$ 自身しかない。
2. $M=\{\sum_{\text{有限和}} r_i s_i; r_i \in R , s_i \in R\}$

定義 3.2   $S$ がうえの補題の性質を満たすとき、「$S$ は $M$ を生成する」という。

補題 3.3   環 $R$ と $R$ -加群 $M$ , および $M$ の $R$ -部分加群 $N$ が与えられているとする。 このとき、商加群 $M/N$ には $R$ -加群の構造が自然に入る。

この $M/N$ のことを $M$ の $N$ による商 $R$ -加群という。

命題 3.4   環 $A$ と、$A$ 上の行列 $(a_{j i})_{i\in I, j\in J}$ が与えられていて、 次のような条件を満たすとする。

(条件): 各 $j\in J$ に対して、 $a_{j i}\neq 0$ なる $i\in I$ は たかだか有限個しかない。

このとき、 $A$ -加群 $M$ とその元 $\{m_i\}_{i\in I}$ の組 $(M,\{m_i\})$ に関する次の条件を考える。

(GR1).

$M$ は $\{m_i\}_{i\in I}$ で生成される。

(GR2).

任意の $j\in J$ に対して、 関係式 $\sum_i a_{j i} m_i=0$ をみたす。

このとき、$A$ -加群 $M_0$ とその生成元 $\{m_i^{(0)}\}$ で次のようなものが同型を除いてただひとつ存在する。

1. $(M_0,\{m_i^{(0)}\}$ は (GR1),(GR2)をみたす。
2. もし、 $(M_1, \{m_i^{(1)}\}$ も (GR1),(GR2)を満たすとすると、 $M_0$ から $M_1$ への $A$ -準同型 $\varphi$ であって、 $\varphi(m_i^{(0)})=m_i^{(1)}$ をみたすものが存在する。

注意 3.5   上の(2)で、$\varphi$ はただひとつ定まり、しかも全射であることがすぐに分かる。

定義 3.6   上の命題で定まる $M_0$ のことを、 関係式

$$\sum_j a_{j i} m_i =0$$

で定義される $A$ -加群と呼ぶ。