線形代数学概論 A No.10要約

行列に基本行列を左右から(ごちゃ混ぜに)掛けることにより、行列を $F_{m,n}(r)$ と書く行列 ($(i,i)$ 成分がはじめの $r$ 個だけ $1$ であとはすべて 0 .) に変形できるのでした。

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行列の階数(ランク)

任意の $m,n$ 行列 $A$ は、うまく両側基本変形すれば、 両側基本変形の標準形の行列に変形できるのでした。それを利用すると 行列のランクが定義されます。

定義 10.1   逆行列をもつような行列のことを可逆行列とか、正則行列と呼ぶ。

命題 10.1   任意の $m,n$ 行列 $A$ にたいして、正則行列 $P,Q$ と 0 以上の整数 $r$ があって、

$$P A Q=F_{mn}(r)$$

という等式が成り立つ。

定義 10.2   $A$ にたいして、上の命題を満たす $r$ のことを $A$ の階数とよび、 $\operatorname{rank}(A)$ で書き表す。

命題 10.2   $A$ の階数は、$P,Q$ の選び方によらず、 (誰が計算しても) 一意に決まる。

証明には次の補題を用いる。

補題 10.1   $m,n$ 行列 $X$ と $n,m$ 行列 $Y$ とが $XY=E_m$ を満たすとすると、$n\geq m$ でなければならない。

(対偶を取ったほうがわかりやすいかもしれない:)

補題 10.2   $n<m$ ならば、どんな $m,n$ 行列 $X$ とどんな $n,m$ 行列 $Y$ とに対しても、 $XY\neq E_m$ .

命題10.2により、次のことがすぐにわかる。

命題 10.3   $m,n$ 行列 $A$ の階数は、正則行列を右や左からかけても変わらない。

◎階数と正則性

命題 10.4   $n$ 次の正方行列 $A$ について、$A$ が正則であることと、 $\operatorname{rank}(A)=n$ であることは同値である。

◎階数の幾何学的な意味

$F_{2,3}(1)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ について調べよう。 この行列は $A_\epsilon= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \epsilon \end{pmatrix}$ の $\epsilon\to 0$ の 「極限」 と考えられる。 行列 $A_\epsilon$ は,「縦に $\epsilon$ 倍、横には等倍」という行列である。 の $\epsilon\to 0$ の 「極限」 では、この写像は縦方向を完全に潰す。 つまり、 ${\mathbb{F}}_{2,2}(r)$ は縦方向を完全に潰す写像である。(論理的には、基本ベクトルの 行き先を見たほうがよいが、結論は同じである。)

同様に、 $F_{3,3}(2)$ は、

$$F_{3,3}(2) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$$

という線形写像をあたえる。この行列は $x,y$ 方向をそのままに、$z$ 方向を 潰すような写像である。

命題 にある分解について考えてみよう。

例 10.1  

$$A= \begin{pmatrix} 5 & 7\\ 15 & 21 \end{pmatrix}$$

について、

$$P= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 5 & 7\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

と置くと、 $P,Q$ は正則行列であって、

$$A= P F_{2,2}(1) Q$$

という分解が成り立つ。

$$Q^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & -7\\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$

であって、 $A$ は

1. $Q^{-1}$ の第1列 $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ を $P$ の第1列 $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に送る。
2. $Q^{-1}$ の第2列 $\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \end{pmatrix}$ を $0$ に潰す。

ような写像である。

例 10.2   同様に、

$$B= \begin{pmatrix} 1& 4 & 11\\ 3 & 10 & 25 \end{pmatrix}$$

について、

$$P= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \... ...pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 &1& 4 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$

と置くと、 $P,Q$ は正則行列であって、

$$B= P F_{2,2}(2) Q$$

という分解が成り立つ。

$$Q^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

であって、 $B$ は

1. $Q^{-1}$ の第1列 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $P$ の第1列 $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に送る。
2. $Q^{-1}$ の第2列 $\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$ を $P$ の第2列 $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ に送る。
3. $Q^{-1}$ の第3列 $\begin{pmatrix} 5 \\ -4\\ 1 \end{pmatrix}$ を $0$ に潰す。

ような写像である。

問題 10.1  

$$C= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}F_{3,2}(2) \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

と、

$$D= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}F_{3,2}(1) \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

について、それぞれの分解に即して どのベクトルをどのベクトルに送る写像か上の例のように述べよ。