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論理と集合要約 No.9
写像を理解するときに、「ホテルヒルベルト」のような解釈もできるのでした。
この解釈では、全射は、「空き室がないこと」に対応し、
単射は、「各部屋個室」(単射でないことは、
相部屋が生じること)に対応するのでした。
全射や単射の存在は、始集合と終集合の元の多さと関係しているのでした。
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第9回目の主題 :
定理 9.1 (再)
集合
,
が与えられているとする。
のおのおのの元
に対して
のコピー
を用意すれば、
はひとつの集合の族である。
から
への写像
は
の元
と同一視される。すなわち、
直積集合
は
から
への写像全体の集合と同一視できる。
定義 9.2 (再)
から
への写像の全体のなす集合を
と書く。これはまた
と書く場合もある。
公理 9.3 (選択公理)
空でない集合ばかリからなる集合族
に
たいして、
は空ではない。
言い換えると、無限個の空でない集合たち
から、いっせいに一つづつ
元を取り出すことが可能である。
◎写像の合成
定義 9.4
写像
と
が与えられているとする。
このとき、
の
合成写像
を
で定義する。
次の命題は簡単ではあるが有用である。実用上はこのような命題があることだけ
記憶しておいて、その都度頭の中で確かめるのがいいだろう。
定義 9.6
集合
に対して、写像
を
の
恒等写像といい、
で表す。
上の命題も、
以外はその都度確認すれば良い。
は特に重要である。
定義 9.8
実数
に対して、
を超えないような整数のうち最大のものを
と書く(floor of
と読む。)。
例えば、
である。また、任意の整数
に対して、
である。
一般に、実数
と整数
に対して、
にも注意しておこう。昔は
のことを
で
書いて、「ガウス記号」と呼ぶことが多かったが、
今や floor のほうが通りが良くなりつつあるようである。
問題 9.2
,
とおく。
写像
と
にたいして、
-
であることを示しなさい。
-
であることを示しなさい。
-
,
はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。
問題 9.3
(複素数係数の
を変数とする多項式の全体のなす集合),
とおく。
写像
と
にたいして、
-
であることを示しなさい。
-
であることを示しなさい。
-
,
はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。
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2012-07-12