第5回目の主題 :
論理と集合は裏腹の関係にあり、集合の包含関係(含む、含まれるの関係)は 対応する論理で証明するのが良いのでした。
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◎積集合
一般に, 元 と 元 を順序をつけて並べたもの を のペア(組)と呼ぶ。 が実数の場合には開区間と全く同じ記号になってしまっていて、 紛らわしいのだが、 区別するときには「区間 」,「ペア(組) 」と前につけると 良いだろう。
を と の積集合といい、 で書き表す。
もっと一般に、 集合族 に対して、
を の積集合といい、 で書き表す。
積集合は「積の集合」ではない。そのことを強調するため、 積集合のことを「デカルト積集合」とか「集合としての直積」と呼ぶこともある。
のことを , のことを 等と 略記する。
以下では絶対値の性質を用いる。高校でよく出てくる性質の他、大切なのは
という性質であろう。この不等式は三角不等式と呼ばれる。
にたいし、そのノルムを
で定義する。このとき、 , にたいして、
がなりたつ。(三角不等式。) このことの証明は内積の定義と性質を用いたほうが良いので ここでは省く。興味のある人は線形代数の教科書を見てみること。
一般に、 と に対して、
( を中心とする半径 のボール。)とおく。
が成り立つことを証明せよ。