代数学 IA No.5要約

《生成される(部分)群》

群 $G$ と、その部分集合 $M$ とが与えられているとする。このとき、

$\bullet$ $M$ で生成される $G$ の部分群とは、 $M$ を含む最小の部分群のことである。

$\bullet$ 特に、$G$ 自身が $M$ で生成される $G$ の部分群であるとき、 単に、$G$ は $M$ で生成される。という。

《生成される部分群》の正確な定義は次のようになる。

定義 5.1 (《生成される部分群》の定義)  

群 $G$ とその部分集合 $M$ とが与えられているとする。 $G$ の部分群 $H$ が $M$ で生成される $G$ の部分群であるとは、 次の条件を満たすときに言う。

(生成 1).

$H$ は $M$ を部分集合として含む $G$ の部分群である。

(生成 2).

$H$ は上の条件 (生成1) を満たすもののうち最小のものである。 すなわち、次のことが成り立つ。

$\langle\!\langle$ $K$ が、$M$ を部分集合として含む $G$ の部分集合であれば、 $H$ は $K$ の部分群になる。 $\rangle\!\rangle$

$M$ で生成される $G$ の部分群を $\langle M \rangle$ と書く。

命題 5.1   整数 $m$ に対して、 $m$ で生成される $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群は $m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に 一致する。

命題 5.2   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群 $H$ で、 0 でないものをとってきたとする。すると、

1. $H$ の元で、正で、最小のものが存在する。(それを $n_0$ とおこう。)
2. $H$ は $n_0$ で生成される。

定理 5.3   $\{0\}$ 以外の $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群は $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($n$ は正の整数)の 形のものに限る。 (逆に、もちろん、 $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群である。)

命題 5.4   群 $G$ の元 $g$ に対して、 $g$ で生成される $G$ の部分群は

$$\langle g \rangle =\{g^n ; n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

に一致する。これはもう少し詳しく見ると次の２つの場合がある。

1. $g^n$ $(n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ はすべて相異なる。
2. ある正の整数 $k$ があって、$g^k=e$ が成り立つ。 そのようなもののうち、最小のものを $g$ の位数と呼ぶ。

(1)の場合には、 $g$ の位数は無限であるという。

命題 5.5   群 $G$ の元 $g$ の位数 $k$ が有限なら、 整数 $l$ が $g^l=e$ を満たすのは、 $l\in k{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のときで、その時に限る。

問題 5.1   二面体群 $\mathbb{D}_n$ の元 $a^3$ について、 $\langle a^3 \rangle$ と、 $a^3$ の位数を $n=3,4,5,6$ の場合についてそれぞれ計算しなさい。